Equazione differenziale
ciao!
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
se ho:
$y''-y'=e^(2x)+1$
$y(0)=-1$
$y'(0)=-2$
l'equazione caratteristica sarà:
$p^2-p=0$
$p=0$
$p=1$
allora:
$y(x)=Ae^0+Be^x=A+Be^x$
quindi:
$2a-2ax-b-e^(2x)-1=0$
per trovare a e b devo mettere a sistema:
$2a-b=1$
e mettendo in evidenza la x,la parte rimanente,ma essondoci $e^(2x)$ non so come si mette in evidenza!
aiuto!
tutto questo lo faccio per trovare l'integrale generale,poi come inserisco le condizioni iniziali del problema?
Risposte
ciao anima pia..... :0)
io mi sono ripresa solo adesso dalla "nostra chiaccherata"!
mi hai fatto sudare prima di capire!però ne è valsa la pena!
cmq,giusto per concludere con questo esercizio,l'unica soluzione di questo problema di cauchy E':
(spero che ci troviamo daccordo!):
$$y=e^x(-2+1/2e^x)-x+1/2$$
$A=1/2$
$B=-2$
essendo:
$y'=e^xB+e^(2x)-1$
per le condizioni iniziali:
$y(0)=A+B+1/2=-1$
$y'(0)=B+1-1=-2$
ci siamo?
io mi sono ripresa solo adesso dalla "nostra chiaccherata"!
mi hai fatto sudare prima di capire!però ne è valsa la pena!
cmq,giusto per concludere con questo esercizio,l'unica soluzione di questo problema di cauchy E':
(spero che ci troviamo daccordo!):
$$y=e^x(-2+1/2e^x)-x+1/2$$
$A=1/2$
$B=-2$
essendo:
$y'=e^xB+e^(2x)-1$
per le condizioni iniziali:
$y(0)=A+B+1/2=-1$
$y'(0)=B+1-1=-2$
ci siamo?
tornando all'altro metodo risolutivo che secondo i tuoi ed i miei calcoli porta alle soluzion:
per l'omogenea: $y=A+Be^x$
per l'inomogenea: $y=1/2e^(2x)-x-1$
rimanere sempre la stessa la mia domanda:
e le condizioni iniziali?
quando devo inserirle?
per l'omogenea: $y=A+Be^x$
per l'inomogenea: $y=1/2e^(2x)-x-1$
rimanere sempre la stessa la mia domanda:
e le condizioni iniziali?
quando devo inserirle?
domanda:
come mai le due soluzioni dell'integrale particolare fatte nei due diversi metodi non coincidono?
ciò fa sì che le soluzioni siano diverse e ciò non è possibile perchè la soluzione deve essere unica e quindi nei due metodi coincidente.
in un caso verrebbe:
$A=1/2 B=-2$ come già detto sopra
nell'ultimo:
$a=3/2 B=-2$
c'è qualcosa che non va ancora......
nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
come mai le due soluzioni dell'integrale particolare fatte nei due diversi metodi non coincidono?
ciò fa sì che le soluzioni siano diverse e ciò non è possibile perchè la soluzione deve essere unica e quindi nei due metodi coincidente.
in un caso verrebbe:
$A=1/2 B=-2$ come già detto sopra
nell'ultimo:
$a=3/2 B=-2$
c'è qualcosa che non va ancora......
nooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
"jestripa":
tornando all'altro metodo risolutivo che secondo i tuoi ed i miei calcoli porta alle soluzion:
per l'omogenea: $y=A+Be^x$
per l'inomogenea: $y=1/2e^(2x)-x-1$
rimanere sempre la stessa la mia domanda:
e le condizioni iniziali?
quando devo inserirle?
ti ho già risposto. E' il punto 4.
"Fioravante Patrone":
3. allora tutte e sole le soluzioni della tua equazione differenziale data sono date da: $A + B e^x -x + 1/2 e^(2x)$, dove $A$ e $B$ sono, come detto, due costanti reali
4. imponi che $A + B e^x -x + 1/2 e^(2x)$ soddisfi le condizioni iniziali. Le equazioni che ottieni ti permettono di determinare $A$ e $B$ e cosi' trovi la soluzione del pb di Cauchy dato (che il pb abbia una ed una sola soluzione e' garantito da un teorema)
"jestripa":
domanda:
come mai le due soluzioni dell'integrale particolare fatte nei due diversi metodi non coincidono?
ciò fa sì che le soluzioni siano diverse e ciò non è possibile perchè la soluzione deve essere unica e quindi nei due metodi coincidente.
Curiostà legittima.
Che le due soluzioni particolari non coincidano, non è un problema.
Quello che è importante è che l'integrale generale è lo stesso, solo espresso in forma diversa. E la tua "deduzione" che ho evidenziato in rosso è scorretta.
Per me l'integrale generale è:
$A + B e^x -x + 1/2 e^(2x)$, con $A$ e $B$ costanti reali
Per te è:
$C + D e^x -x + 1/2 e^(2x) -1$, con $C$ e $D$ costanti reali
Evidentemente, fissati $A$ e $B$, basta prendere $C = A +1$ e $D = B$ per trovare la stessa funzione.
Viceversa, fissati $C$ e $D$, prendi $A = C -1$ e $D = B$ e siamo a cavallo.
non ben capito ,comunque le costanti che ho trovato sono giuste?
ed è giusto che siano diverse?
se posso farti qualche altra domanda,ti chiederei :
come sei messo con gli integrali curvilinei?
è uno degli ultimi argomenti su cui mi sto preparando ed ho già mille dubbi!
in particolare su un esrcizio!
ed è giusto che siano diverse?
se posso farti qualche altra domanda,ti chiederei :
come sei messo con gli integrali curvilinei?
è uno degli ultimi argomenti su cui mi sto preparando ed ho già mille dubbi!
in particolare su un esrcizio!
"Fioravante Patrone":
Che le due soluzioni particolari non coincidano, non è un problema.
Quello che è importante è che l'integrale generale è lo stesso, solo espresso in forma diversa.
Passatemi questo classico esempio: l'integrale generale dell'equazione del second'ordine:
$y''+omega^2y=0 quad$ (equazione del moto armonico)
può essere scritto nei due modi:
$y=A*cos omegax+B*sin omegax$
$y=A*sin(omegax+phi)$
in cui $A,B,phi in RR$ sono costanti arbitrarie.
domanda:
come mai le due soluzioni dell'integrale particolare fatte nei due diversi metodi non coincidono?
ciò fa sì che le soluzioni siano diverse e ciò non è possibile perchè la soluzione deve essere unica e quindi nei due metodi coincidente.
Provo a riassumerti cio' che gli altri ti hanno gia' detto.
Per risolvere l'equazione con dati assegnati devi (nell'ordine):
1) trovare due soluzioni "indipendenti" $y_1$ e $y_2$ dell'equazione omogenea; in questo modo hai trovato tutte le soluzioni
dell'omogenea che sono date da $a y_1+ b y_2$ al variare di $a$ e $b$ in $RR$
Nota che $y_1$ e $y_2$ NON sono univocamente deteminate - con due funzioni diverse puoi descrivere la
stessa famiglia.
2) trovare una soluzione particolare $\bar y$ Neanche questa e' unica (ovviamente direi)
3) a questo punto (e solo a questo punto) tra tutte le soluzioni possibili dell'equazione, che sono date da
$\bar y+a y_1+ b y_2$ al variare di $a$ e $b$ in $RR$, trovare i valori di $a$ e $b$ per cui risultano verificate
le condizioni iniziali. Questo si traduce nel risovere un sistema lineare.
La soluzione del problema con le condizioni iniziali DEVE venire la stessa qualunque siano $y_1$, $y_2$ e $\bar y$ - ovviamente cambiando $y_1$, $y_2$ e $\bar y$
CAMBIERANNO I VALORI DI $a$ e $b$ (che non hanno nessun significato in sé).
Prova a fare l'esercizio nei vari modi - fino in fondo - e vedrai che tutto torna
ok! ho controllato e torna tutto!
grazie!
grazie!
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