EQUAZIONE DIFFERENZIALE
$y'= -((ylnx)/(xlny))$
$y(1) = e$
io l'ho intesa come a variabili separabili:
$y'(lny/y) = -(lnx/x)$
$int(lny/y) = -int(lnx/x)$
poi continuato integrando per parti una volta..e non era ancora risolvibile...è giusta la strada che sto seguendo?
$y(1) = e$
io l'ho intesa come a variabili separabili:
$y'(lny/y) = -(lnx/x)$
$int(lny/y) = -int(lnx/x)$
poi continuato integrando per parti una volta..e non era ancora risolvibile...è giusta la strada che sto seguendo?
Risposte
fai una sostituzione $lny=t$
ma per quanto riguarda $lnx/x$ non avrei lo stesso problema?
certo, gli integrali si risolvono identicamente
"marktrix":
$y'= -((ylnx)/(xlny))$
$y(1) = e$
io l'ho intesa come a variabili separabili:
$y'(lny/y) = -(lnx/x)$
$int(lny/y) = -int(lnx/x)$
poi continuato integrando per parti una volta..e non era ancora risolvibile...è giusta la strada che sto seguendo?
$int(lny)/ydy = -int(lnx)/xdx$ $<=>$ $intlnyd(lny)=-intlnxd(lnx)$ da cui
$(ln^2y)/2=-(ln^2x)/2+K->ln^2y=-ln^2x+C$ per cui il problema di cauchy è
${(ln^2y=-ln^2x+C),(y(1) = e):}$ da cui si ricava $(lne)^2=-(ln1)^2+C->C=1$ per cui si ottiene
$ln^2y=1-ln^2x$ da cui se $1-ln^2x>=0->1/e<=x<=e$ si ricava $y=e^(sqrt(1-ln^2x))$
non ho capito molto i passaggi...il primo... e poi come è stato integrato il logaritmo?
"marktrix":
non ho capito molto i passaggi...il primo... e poi come è stato integrato il logaritmo?
la derivata di $lnx$ è $1/x$ per cui in ambo gli integrali sei in presenza di integrali del tipo
$intf(x)^n*f'(x)dx=(f^(n+1)(x))/(n+1)+K AA n!=-1$
nel tuo caso $n=1$ per cui
$int(lnx)/xdx=1/2*ln^2x+K$
tutto chiaro...grazie mille!
"marktrix":
tutto chiaro...grazie mille!
anche i successivi passaggi?
si la sostituzione poi si...
l'intervallo di definizione è (0,+oo) perchè deve contenere y(1) e la x deve essere diversa da 0
l'intervallo di definizione è (0,+oo) perchè deve contenere y(1) e la x deve essere diversa da 0
"marktrix":
si la sostituzione poi si...
l'intervallo di definizione è (0,+oo) perchè deve contenere y(1) e la x deve essere diversa da 0
in realtà dall'equazione $ln^2y=1-ln^2x$ per poterne estrarre la radice ed ottenere $y=e^(sqrt(1-ln^2x))$ devi supporre $1-ln^2x>=0->1/e<=x<=e$ dal momento che $ln^2y>=0 AA y>0$ essendo un quadrato
la condizione di partenza non presume anche $x=!0$?
cmq la condizione della radice non la sapevo..la devo mettere ogni volta che in una differenziale trovo una radice?
cmq la condizione della radice non la sapevo..la devo mettere ogni volta che in una differenziale trovo una radice?
"marktrix":
la condizione di partenza non presume anche $x=!0$?
cmq la condizione della radice non la sapevo..la devo mettere ogni volta che in una differenziale trovo una radice?
in partenza tu hai come condizione $x>0,y>0$ essendoci la presenza di $lnx,lny$.
poi a valle del problema di cauchy, hai $ln^2y=1-ln^2x$ che ha senso se e solo se $1-ln^2x>=0$ visto che $ln^2y>=0 AA y>0$, per cui supposto $1-ln^2x>=0->1/e<=x<=e$ puoi estrarre la radice e dire che la soluzione è $y=e^(sqrt(1-ln^2x))$.
ah ok...capito... 
Grazie!
Grazie!
sempre per quanto riguarda le equazioni differenziali di 1° grado in alcuni esercizi vengono trovate appena dopo il testo delle soluzioni dette soluzioni costanti...mi saprebbe spiegare cosa sono e come si trovano?sono quelle che mandano a 0 l'equazione y'?
"marktrix":
sempre per quanto riguarda le equazioni differenziali di 1° grado in alcuni esercizi vengono trovate appena dopo il testo delle soluzioni dette soluzioni costanti...mi saprebbe spiegare cosa sono e come si trovano?sono quelle che mandano a 0 l'equazione y'?
sì le soluzioni costanti sono le soluzioni banali di una equazione differenziale e si trovano molto spesso nelle equazioni differenziale a variabili separabili. ti porto un esempio. si ha la seguente equazione differenziale
$y'=x*y$. Ora tu dirai che è a variabili separabili per cui supponendo $y!=0$ dividi per $y$ e la scrivi come $(y')/y=x$. ma ti accorgi subito che $y=0$ è soluzione perchè se $y=0->y'=0$ per cui l'equazione differenziale $y'=x*y$ diventa una identità.
Quindi quando hai equazioni differenziale del tipo $y'=f(y)*g(x)$, prima di dividere tutto per $f(y)$ controlla che le soluzioni $f(y)=0$ non siano soluzioni costanti dell'equazione differenziale di partenza.
quindi nel mio caso dovrei mettere $lny/y=0$ quindi per y=1 con $y!=0$ è una soluzione giusto?
"marktrix":
quindi nel mio caso dovrei mettere $lny/y=0$ quindi per y=1 con $y!=0$ è una soluzione giusto?
nel tuo caso $f(y)=y/(lny)$
si è vero...il contrario....
grazie!
ora vado a riposare che vista l'ora non connetto più molto,domani ti mando un esercizio svolto per pm e se hai tempo mi dai una spiegazione logica su cm fanno i prof a calcolare la tangente a una funzione....
ciao!
grazie!
ora vado a riposare che vista l'ora non connetto più molto,domani ti mando un esercizio svolto per pm e se hai tempo mi dai una spiegazione logica su cm fanno i prof a calcolare la tangente a una funzione....
ciao!
"marktrix":
si è vero...il contrario....
grazie!
ora vado a riposare che vista l'ora non connetto più molto,domani ti mando un esercizio svolto per pm e se hai tempo mi dai una spiegazione logica su cm fanno i prof a calcolare la tangente a una funzione....
ciao!
figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo