Equazione differenziale
Ciao 
Dato un sistema LTI descritto dall'equazione:
$\frac{d^2v(t)} {dt^2} + 3\frac {dv(t)} {dt} + 2v(t) = 5u(t)$
determinare la risposta del sistema ad un ingresso $u(t) = e^(-2t)$ con condizioni iniziali $v(0)=1$, $\frac {dv(0)} {dt} = 0$, $t>=0$.
L'ho svolto utilizzando la trasformata di Laplace e ho ottenuto la seguente soluzione: $-5te^(-2t) -6e^(-2t) +7e^(-t)$
Che ne dite?
Dato un sistema LTI descritto dall'equazione:
$\frac{d^2v(t)} {dt^2} + 3\frac {dv(t)} {dt} + 2v(t) = 5u(t)$
determinare la risposta del sistema ad un ingresso $u(t) = e^(-2t)$ con condizioni iniziali $v(0)=1$, $\frac {dv(0)} {dt} = 0$, $t>=0$.
L'ho svolto utilizzando la trasformata di Laplace e ho ottenuto la seguente soluzione: $-5te^(-2t) -6e^(-2t) +7e^(-t)$
Che ne dite?
Risposte
La mia soluzione, applicando i metodi che si usano in generale nelle equazioni differenziali lineari, è:
y=e^(-2x)*[-6+7*e^(x)-5x]
La soluzione generale è
yg=H*e^(-2x)+K*e^(-x)
Quella particolare è del tipo yp=(A+Bx)*e^(-2x) e sostituendo yp nell'equazione generale si trova B=-5 e nessuna condizione su A cioè si può scegliere qualsiasi valore per A e noi porremo A=0 senza perdere di generalità
Per cui
y=yg+yp=H*e^(-2x)+K*e^(-x)-5x*e^(-2x) ed imponendo le condizioni iniziali si ricava
y=e^(-2x)*[-6+7*e^(x)-5x]
Se ad esempio poniamo A=B=-5 imponendo le condizioni iniziali troveremo sempre y=e^(-2x)*[-6+7*e^(x)-5x] (basta provare per curiosità). Questa cosa è intuitiva perche il termine nell'equazione particolare A*e^(-2x) possiamo inglobarlo in quello H*e^(-2x) con una costante opportuna
y=e^(-2x)*[-6+7*e^(x)-5x]
La soluzione generale è
yg=H*e^(-2x)+K*e^(-x)
Quella particolare è del tipo yp=(A+Bx)*e^(-2x) e sostituendo yp nell'equazione generale si trova B=-5 e nessuna condizione su A cioè si può scegliere qualsiasi valore per A e noi porremo A=0 senza perdere di generalità
Per cui
y=yg+yp=H*e^(-2x)+K*e^(-x)-5x*e^(-2x) ed imponendo le condizioni iniziali si ricava
y=e^(-2x)*[-6+7*e^(x)-5x]
Se ad esempio poniamo A=B=-5 imponendo le condizioni iniziali troveremo sempre y=e^(-2x)*[-6+7*e^(x)-5x] (basta provare per curiosità). Questa cosa è intuitiva perche il termine nell'equazione particolare A*e^(-2x) possiamo inglobarlo in quello H*e^(-2x) con una costante opportuna
Appunto... non sono mica uguali?
è vero ma la tua seconda soluzione è uguale alla mia. la prima che avevi scritto non era uguale. quando ho scritto il messaggio tu allora avevi cambiato la soluzione.
comunque tutto ok
comunque tutto ok
An... si si scusa mi ero accorto di aver sbagliato e ho editato il post...
Sucsa...
Fra un pò ne posto un altra.
Grazie!
Sucsa...
Fra un pò ne posto un altra.
Grazie!
Ok ne posto un secondo.
Dato il sistema dinamico rappresentato dall'equazione differenziale:
$\frac {d^2v(t)} {dt^2} +4 \frac {dv(t)} {dt} + 3 = 2u(t)$
Con $v(0)=1$, $\frac {dv(t)} {dt} = 0$, u(t)=gradino unitario (non so fare il simbolo)
Calcolare la risposta del sistema.
$7/8 e^(-4t) + 1/2 t + 1/4$?
Ciao!
Dato il sistema dinamico rappresentato dall'equazione differenziale:
$\frac {d^2v(t)} {dt^2} +4 \frac {dv(t)} {dt} + 3 = 2u(t)$
Con $v(0)=1$, $\frac {dv(t)} {dt} = 0$, u(t)=gradino unitario (non so fare il simbolo)
Calcolare la risposta del sistema.
$7/8 e^(-4t) + 1/2 t + 1/4$?
Ciao!
se non leggo male nell'equazione il termine in v(t) non ci sta.
se è così io dividerei il caso in cui t<0 ed il caso in cui t>0
se t>0 allora si deve risolvere y^(II)+4y^(I)=-1 ed abbiamo y=-e^(-4t)/16*[1-17*e^(4t)+4t*e^(4t)]
se t<0 allora y^(II)+4y^(I)=-3 ed abbiamo y=-=-e^(-4t)/16*[3-19*e^(4t)+12t*e^(4t)]
OK?
se ho letto male fammi sapere
se è così io dividerei il caso in cui t<0 ed il caso in cui t>0
se t>0 allora si deve risolvere y^(II)+4y^(I)=-1 ed abbiamo y=-e^(-4t)/16*[1-17*e^(4t)+4t*e^(4t)]
se t<0 allora y^(II)+4y^(I)=-3 ed abbiamo y=-=-e^(-4t)/16*[3-19*e^(4t)+12t*e^(4t)]
OK?
se ho letto male fammi sapere
Si, esatto il termine v(t) non c'è.
Però non riesco bene a capire la tua risoluzione.
Però non riesco bene a capire la tua risoluzione.
la funzione gradino unitario u(t) vale 1 se t>0 e 0 se t<0.
Perciò la soluzione dell'equazione differenziale cambia se t>0 o se t<0 fermo restando che la soluzione generale è del tipo
(H+K*e^(-4x)) e quella particolare è del tipo (A+Bx). I coefficienti A,B,H,K cambiano se t>0 o se t<0.
Infatti se t>0 l'equazione da risolvere è y^(II)+4y^(I)=-1 e se t<0 l'equazione è y^(II)+4y^(I)=-3
Ti trovi?
La divisione per t<0 e t>0 è necessaria perchè il gradino è on-off: acceso per t>0 e spento per t<0
Perciò la soluzione dell'equazione differenziale cambia se t>0 o se t<0 fermo restando che la soluzione generale è del tipo
(H+K*e^(-4x)) e quella particolare è del tipo (A+Bx). I coefficienti A,B,H,K cambiano se t>0 o se t<0.
Infatti se t>0 l'equazione da risolvere è y^(II)+4y^(I)=-1 e se t<0 l'equazione è y^(II)+4y^(I)=-3
Ti trovi?
La divisione per t<0 e t>0 è necessaria perchè il gradino è on-off: acceso per t>0 e spento per t<0
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