Equazione differenziale
Mi ricordate come si risolve questa equazione differenziale?
$(dv)/(dt)=g-b/mv$
é un'equazione utilizzata in fisica per esprimere l'accelerazione di un corpo soggetto a forza frenante (attrito) proporzionale alla velocità del corpo.
$(dv)/(dt)=g-b/mv$
é un'equazione utilizzata in fisica per esprimere l'accelerazione di un corpo soggetto a forza frenante (attrito) proporzionale alla velocità del corpo.
Risposte
Separazione di variabili e poi integri sapendo le condizioni iniziali sulla velocità e sul tempo
@arnett
un mio parere:
probabilmente in un qualsiasi corso di Fisica I questa ODE non si integra a partire da quella tua (nota) formula
un mio parere:
probabilmente in un qualsiasi corso di Fisica I questa ODE non si integra a partire da quella tua (nota) formula
@feddy
come la risolveresti per separazione delle variabili?
solitamente una equazione del tipo che dici tu è $y'(t)=f(y(t))g(t)$
Però non consiglierei nemmeno di stamparsi quella formula in testa.
capendo il senso di moltiplicare per la quantità $e^(int ... dt)$ non ci sarà più bisogno di ricordare nessuna formula
come la risolveresti per separazione delle variabili?
solitamente una equazione del tipo che dici tu è $y'(t)=f(y(t))g(t)$
Però non consiglierei nemmeno di stamparsi quella formula in testa.
$v'(t)+b/m*v(t)=g => v'(t)e^(b/m t)+b/me^(b/m t)v(t)=g e^(b/m t)$
$d/dt (v(t)e^(b/m t))=g e^(b/m t) => v(t)e^(b/m t)=g m/b e^(b/m t)+c$
$v(t)=g*m/b+c*e^(-b/m t), c in RR$
capendo il senso di moltiplicare per la quantità $e^(int ... dt)$ non ci sarà più bisogno di ricordare nessuna formula
"arnett":
Io immagino con qualcosa di questo tipo
a questo punto suppongo di si
"arnett":
mi piace meno
E' un bel risultato dovuto a Fioravante e bisogna trattarlo con rispetto
@arnett
[ot]quando leggo 'non mi piace' e non 'è brutto' mi sale un profondo senso di solidarietà
[/ot]
ciao @anto !
la tua obiezione è senz'altro corretta, e ad essere sincero preferisco anch'io procedere come hai fatto tu (che altro non è che la dimostrazione della formula proposta inizialmente da @arnett), tuttavia visto l'ambito proposto dall'OP e sapendo come si procede di solito con questi (primi) esempi didattici da fisica I, ho trovato che più naturale suggerigli un metodo un po' più da fisico. Cosa che fanno sempre anche i testi di Fisica I.
A tal proposito suggerisco all'OP di leggersi (com'è consuetudine in questo tipo di discussione ) questo PDF di Fioravante Patrone.
la tua obiezione è senz'altro corretta, e ad essere sincero preferisco anch'io procedere come hai fatto tu (che altro non è che la dimostrazione della formula proposta inizialmente da @arnett), tuttavia visto l'ambito proposto dall'OP e sapendo come si procede di solito con questi (primi) esempi didattici da fisica I, ho trovato che più naturale suggerigli un metodo un po' più da fisico. Cosa che fanno sempre anche i testi di Fisica I.
A tal proposito suggerisco all'OP di leggersi (com'è consuetudine in questo tipo di discussione
) questo PDF di Fioravante Patrone.
[ot]Sapevo che qualcuno l'avrebbe citato prima di me 
[/ot]
[/ot]
Gvazie vagazzi
Mi è venuto voglia di cercare con Google urang utang: oso sperare che si stia diffondendo il discredito nei confronti di questa "matematica" voodoo.
E ribadisco quanto dicevo nella chiosa finale al commento sul "paper" di Bonicatto e Lussardi:
La mia indignazione nei confronti del metodo urang-utang© non è dovuta al fatto che venga
proposta una strada risolutiva traballante (a voler essere molto buoni!!). Ma è il fatto che questa strada,
infarcita di erroracci da fare accapponare la pelle, venga sbattuta in faccia al lettore, al discente, come se fosse
corretta! Questo porta a corrompere un sano spirito critico, scientifico. E, come tale, l’ho denunciata e va
denunciata.
Mi è venuto voglia di cercare con Google urang utang: oso sperare che si stia diffondendo il discredito nei confronti di questa "matematica" voodoo.
E ribadisco quanto dicevo nella chiosa finale al commento sul "paper" di Bonicatto e Lussardi:
La mia indignazione nei confronti del metodo urang-utang© non è dovuta al fatto che venga
proposta una strada risolutiva traballante (a voler essere molto buoni!!). Ma è il fatto che questa strada,
infarcita di erroracci da fare accapponare la pelle, venga sbattuta in faccia al lettore, al discente, come se fosse
corretta! Questo porta a corrompere un sano spirito critico, scientifico. E, come tale, l’ho denunciata e va
denunciata.
@FP: Uno dice "urang-utang©" ed appari tu... Mi ricordi qualcuno.
"gugo82":
@FP: Uno dice "urang-utang©" ed appari tu... Mi ricordi qualcuno.
...
omissis
...
Ho dovuto cercare con Google immagini per avere una idea di chi fosse. Non ho la tv...
Quanto alle mie epifanie, la ragione è semplice: la mia mission aziendale è sterminare tutte le specie di Pongo che sono in circolazione, almeno in Italia. Anzi, ora che ci penso, dovrei decidermi a tradurre i miei appunti in inglese
"anto_zoolander":
Però non consiglierei nemmeno di stamparsi quella formula in testa.
$v'(t)+b/m*v(t)=g => v'(t)e^(b/m t)+b/me^(b/m t)v(t)=g e^(b/m t)$
$d/dt (v(t)e^(b/m t))=g e^(b/m t) => v(t)e^(b/m t)=g m/b e^(b/m t)+c$
$v(t)=g*m/b+c*e^(-b/m t), c in RR$
capendo il senso di moltiplicare per la quantità $e^(int ... dt)$ non ci sarà più bisogno di ricordare nessuna formula
Questo mi è chiarissimo, lo avevo studiato e vi ringrazio per avermi fatto "recuperare" la memoria
Nel testo infatti si pone anche la condizione iniziale $v=0$ e $t=0$
quindi sostituisco i valori ed ottengo $c=-gm/b$
ed ecco che ottengo magicamente come dice il libro $(mg)/b(1-e^(-b/mt))$
Grazie
PS
Pensavi di esserti liberato di me invece sopravvivo ancora alla bellissima giungla della matematica e fisica
"arnett":
Io immagino con qualcosa di questo tipo: \[ \int \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}=\int dt \]
(e devo dire che per gusto personale mi piace meno, ma in un corso di fisica è in effetti una risoluzione più comune).
Questo passaggio mi è chiaro ma mi incuriosisce la risoluzione
@zio_mangrovia si tratta di integrare ambo i membri, con le opportune condizioni iniziali. $\int_{v_0}^{v(t)} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}=\int_{t_0}^{t} dt$, con abuso di notazione riguardo agli estremi di integrazione.
"zio_mangrovia":
[quote="arnett"]
Io immagino con qualcosa di questo tipo: \[ \int \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}=\int dt \]
(e devo dire che per gusto personale mi piace meno, ma in un corso di fisica è in effetti una risoluzione più comune).
Questo passaggio mi è chiaro ma mi incuriosisce la risoluzione[/quote]
"Fioravante Patrone":
[/url]
Intendevo dire che capisco che si procede separando le variabili, in particolare sarei curioso di vedere la risoluzione di $\int1/((g-b/mv))dv$
E' un integrale immediato, ricorda che la variabile d'integrazione è $v$
"feddy":
E' un integrale immediato, ricorda che la variabile d'integrazione è $v$
Vero. Però c'è una parte consistente di studenti di lauree tecnico-scientifiche che, una volta "risolto" l'integrale, non riescono a ricavare correttamente le soluzioni dell'equazione differenziale. O, magari, ci riescono ma in modo spericolato, ovvero facendo passaggi che non sono in grado di motivare.
Anche il classico passaggio della "eliminazione del modulo", che spesso compare tra i piedi, è effettuato alla sperindio.
Immagino che molti siano convinti che sia sempre valida questa "equivalenza logica", che usano per "eliminare il modulo"
$ [|f(x)|=g(x) \forall \ x \in RR ] iff [ ( f(x) = g(x) \forall \ x \in RR)$ vel $(f(x) = -g(x) \forall \ x \in RR) ]$
Roba che si trova spesso scritta, sbrigativamente, come
$ (|f(x)|=g(x) \forall \ x \in RR ) iff [ ( f(x) = \+- g(x) \forall \ x \in RR)$
Grazie per l'osservazione Fioravante, ri ringrazio. Non avendo mostrato all'OP i passaggi non mi è proprio venuto in mente
"feddy":
Grazie per l'osservazione Fioravante, ri ringrazio. Non avendo mostrato all'OP i passaggi non mi è proprio venuto in mente
Sia chiaro, quella equivalenza è corretta, sia su $RR$ che su un intervallo $I$ di $RR$ [size=150]SE[/size] sappiamo a priori che la funzione $f$ è continua.
Per fortuna dei tanti spericolati, quando abbiamo a che fare con soluzioni di EDO a VS, normalmente le ipotesi che abbiamo sui dati ci garantiscono che entrambe le DUE condizioni siano soddisfatte (è essenziale essere su un INTERVALLO). Però non ce lo garantisce l'algebretta da 4 soldi, bensì il teorema degli zeri, uno dei "big theorems" dell'analisi matematica. Uno di quelli che richiedono in modo essenziale che si stia lavorando con funzioni reali di variabile reale.
Esempio.
Sia $f:QQ -> QQ$ così definita:
$f(x) = -1$ se $x \le 0$ o $x^2 < 2$
$f(x) = 1$ se $x \ge 0$ e $x^2 > 2$
Ovviamente $|f(x)|=1$ per ogni $x \in QQ$, ma NON è vero né $f(x)=1 \ \forall x \in \QQ$, né $f(x)=-1 \ \forall x \in \QQ$.
Notare che $f$ è continua su tutto $QQ$...
$
Ho provato a risolverlo e ottengo:
$-m/blnabs(g-b/mv)+c=t$
Una considerazione, secondo me potrei togliere anche il valore assoluto perchè$b/mv$ il termine non potrà mai essere inferiore a g ma potrà tendere al valore di $g$, per cui l'argomento del logaritmo è sempre maggiore di zero. E' corretta la mia affermazione?
Adesso vedo di proseguire con gli altri calcoli...
$-m/bln((gm)/(bv))+c=t$
divido tutto per $-m/b$
dove $e^(-m/b)=(gm)/(bv)$
$ln((gm)/(bv))-cb/m=-b/mt$
mi chiedo se posso pensare $-cb/m$ come $c$
poiché è una costante potrà assumere varie forme.
$ln((gm)/(bv))+c=-b/mt$
$e^(-b/mt+c)=(gm)/(bv)$ dove $v=(gm/b) / (e^(-b/mt)e^c)$
ed infine $v=gm/b(e^(b/mt)c)$ dove considero $e^c$ come $c$
ma all'esponente non mi torna il segno meno!
"feddy":
$\int_{v_0}^{v(t)} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}=\int_{t_0}^{t} dt$ E' un integrale immediato, ricorda che la variabile d'integrazione è $v$
Ho provato a risolverlo e ottengo:
$-m/blnabs(g-b/mv)+c=t$
Una considerazione, secondo me potrei togliere anche il valore assoluto perchè$b/mv$ il termine non potrà mai essere inferiore a g ma potrà tendere al valore di $g$, per cui l'argomento del logaritmo è sempre maggiore di zero. E' corretta la mia affermazione?
Adesso vedo di proseguire con gli altri calcoli...
$-m/bln((gm)/(bv))+c=t$
divido tutto per $-m/b$
dove $e^(-m/b)=(gm)/(bv)$
$ln((gm)/(bv))-cb/m=-b/mt$
mi chiedo se posso pensare $-cb/m$ come $c$
poiché è una costante potrà assumere varie forme.
$ln((gm)/(bv))+c=-b/mt$
$e^(-b/mt+c)=(gm)/(bv)$ dove $v=(gm/b) / (e^(-b/mt)e^c)$
ed infine $v=gm/b(e^(b/mt)c)$ dove considero $e^c$ come $c$
ma all'esponente non mi torna il segno meno!
"Fioravante Patrone":
Vero. Però c'è una parte consistente di studenti di lauree tecnico-scientifiche che, una volta "risolto" l'integrale, non riescono a ricavare correttamente le soluzioni dell'equazione differenziale. O, magari, ci riescono ma in modo spericolato, ovvero facendo passaggi che non sono in grado di motivare.
Mi chiedo se la rimozione del modulo del logaritmo è correttamente motivata nello sviluppo precedente che ho riportato.
Grazie
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