Equazione differenziale
Mi ricordate come si risolve questa equazione differenziale?
$(dv)/(dt)=g-b/mv$
é un'equazione utilizzata in fisica per esprimere l'accelerazione di un corpo soggetto a forza frenante (attrito) proporzionale alla velocità del corpo.
$(dv)/(dt)=g-b/mv$
é un'equazione utilizzata in fisica per esprimere l'accelerazione di un corpo soggetto a forza frenante (attrito) proporzionale alla velocità del corpo.
Risposte
@zio_mangrovia
Innanzitutto chiamo per comodità il termine $\frac{b}{m}=k$. Il significato fisico è immediato a partire dalle seconda legge di Newton dove $\frac{d \mathbf{p}}{dt}=m\mathbf{g} - k\mathbf{v}$, cioè è una caduta libera con resistenza viscosa proporzionale alla velocità.
Sei arrivato a $[ln(g-kv) ]_{v_{0}}^{v(t)}=-kt$, avendo preso per comodità $t_0=0$.
Ora hai $\ln(g-k v(t)) - \ln(g-kv_0)=-kt$, da cui, usando le proprietà dei logaritmi e prendendo l'esponenziale
Definendo poi $\tau=\frac{1}{k}$, si ricava la seguente espressione per $v(t)$:
Ovviamente non c'è nessun bisogno di definire le costanti $k, \tau$, ma hanno un loro senso fisico e il tuo professore o il tuo testo potrebbero averle introdotte.
Innanzitutto chiamo per comodità il termine $\frac{b}{m}=k$. Il significato fisico è immediato a partire dalle seconda legge di Newton dove $\frac{d \mathbf{p}}{dt}=m\mathbf{g} - k\mathbf{v}$, cioè è una caduta libera con resistenza viscosa proporzionale alla velocità.
Sei arrivato a $[ln(g-kv) ]_{v_{0}}^{v(t)}=-kt$, avendo preso per comodità $t_0=0$.
Ora hai $\ln(g-k v(t)) - \ln(g-kv_0)=-kt$, da cui, usando le proprietà dei logaritmi e prendendo l'esponenziale
$\frac{g-kv(t)}{g-kv_0}=e^{-kt}$
Definendo poi $\tau=\frac{1}{k}$, si ricava la seguente espressione per $v(t)$:
$v(t)=v_{0} e^{-\frac{t}{\tau}} + g \tau(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$
. Ovviamente non c'è nessun bisogno di definire le costanti $k, \tau$, ma hanno un loro senso fisico e il tuo professore o il tuo testo potrebbero averle introdotte.
"feddy":
Innanzitutto chiamo per comodità il termine $\frac{b}{m}=k$. Il significato fisico è immediato a partire dalle seconda legge di Newton dove $\frac{d \mathbf{p}}{dt}=m\mathbf{g} - k\mathbf{v}$, cioè è una caduta libera con resistenza viscosa proporzionale alla velocità.
Sei arrivato a $[ln(g-kv) ]_{v_{0}}^{v(t)}=-kt$, avendo preso per comodità $t_0=0$.
se utilizzo il metodo di separazione delle variabili però ottengo:
$\frac{d \mathbf{p}}{m\mathbf{g} - k\mathbf{v}}=dt$
immaginando che con $d \mathbf{p}$ si intenda la derivata della velocità.
mi chiedo perchè non è stata introdotta la costante $c$ mi sembrava di aver capito che si parlava di integrale indefinito.
$\mathbf{p}$ è la quantità di moto, quella che ho scritto io è solo il secondo principio della dinamica.
Per quanto riguarda l'integrale... se noti il mio integrale non è "indefinito", anzi, ho messo degli estremi ben precisi, per esempio la velocità iniziale. Una volta risolto ho già ottenuto $v(t)$, perché la condizione iniziale è già stata considerata.
Per quanto riguarda l'integrale... se noti il mio integrale non è "indefinito", anzi, ho messo degli estremi ben precisi, per esempio la velocità iniziale. Una volta risolto ho già ottenuto $v(t)$, perché la condizione iniziale è già stata considerata.
"feddy":
$\mathbf{p}$ è la quantità di moto, quella che ho scritto io è solo il secondo principio della dinamica.
Per quanto riguarda l'integrale... se noti il mio integrale non è "indefinito", anzi, ho messo degli estremi ben precisi, per esempio la velocità iniziale. Una volta risolto ho già ottenuto $v(t)$, perché la condizione iniziale è già stata considerata.
Noto che il mio testo fa riferimento alla sola accelerazione $(dv)/dt$ e la mette in relazione $g-b/mv=(dv)/dt$
Sono al capitolo 7 del Serway e non si parla ancora di quantità di moto quindi ho difficoltà a capire la tua scrittura.
Si avevo notato l'integrale che avevi impostato non era indefinito ma mi piacerebbe anche capire la strada seguita dal mio testo Serway che tutti gli insegnanti di fisica odiano ma che qualcuno continua ad adottare.
Grazie comunque per il contributo.
Non cambia nulla, per la cronaca $\mathbf{p}= m \mathbf{v}$, per cui la derivata della quantità di moto rispetto al tempo è esattamente $\frac{d \mathbf{p}}{dt}=m \frac{\d \mathbf{v}}{dt}= m \mathbf{a}$, quindi non c'è nulla di diverso.
Il Serway non lo conosco, prova a postare un URL con l'immagine dei suoi passaggi, non dovrebbe cambiare nulla alla fine.
Il Serway non lo conosco, prova a postare un URL con l'immagine dei suoi passaggi, non dovrebbe cambiare nulla alla fine.
"feddy":
Il Serway non lo conosco, prova a postare un URL con l'immagine dei suoi passaggi, non dovrebbe cambiare nulla alla fine.
La mia soluzione differisce dal Serway per la condizione iniziale non nulla sulla velocità (lui impone $v(t=0)=v_0=0$, e per la costante $k$, ma non cambia nulla. Infatti, il valore della velocità limite è lo stesso per entrambi.
Il testo che usi è del liceo evidentemente, visto che dice che il lettore potrebbe non avere gli strumenti per risolvere l'equazione...mentre io credevo fosse un testo universitario.
Il testo che usi è del liceo evidentemente, visto che dice che il lettore potrebbe non avere gli strumenti per risolvere l'equazione...mentre io credevo fosse un testo universitario.
"feddy":
La mia soluzione differisce dal Serway per la condizione iniziale non nulla sulla velocità (lui impone $v(t=0)=v_0=0$, e per la costante $k$, ma non cambia nulla. Infatti, il valore della velocità limite è lo stesso per entrambi.
Il testo che usi è del liceo evidentemente, visto che dice che il lettore potrebbe non avere gli strumenti per risolvere l'equazione...mentre io credevo fosse un testo universitario.
è un testo universitario consigliato dal prof.
http://www.edises.it/universitario/serway-fisica-per-scienze-ed-ingegneria-volume-primo.html
[ot]
Ah, non lo sapevo. Sinceramente la cosa mi lascia perplesso.[/ot]
In ogni caso, anto, arnett e io abbiamo proposto tre possibili strade. Spero che le cose ti siano più chiare ora.
Forse ti conviene studiare un po' di teoria sulle EDO, anche se nel tuo corso magari non le hai ancora fatte. Così facendo avresti gli strumenti necessari per comprendere meglio il tuo testo
"zio_mangrovia":
è un testo universitario
Ah, non lo sapevo. Sinceramente la cosa mi lascia perplesso.[/ot]
In ogni caso, anto, arnett e io abbiamo proposto tre possibili strade. Spero che le cose ti siano più chiare ora.
Forse ti conviene studiare un po' di teoria sulle EDO, anche se nel tuo corso magari non le hai ancora fatte. Così facendo avresti gli strumenti necessari per comprendere meglio il tuo testo
"feddy":
Forse ti conviene studiare un po' di teoria sulle EDO
Scusa l'ignoranza, cosa sono le EDO ?
"zio_mangrovia":
Pensavi di esserti liberato di me invece sopravvivo ancora alla bellissima giungla della matematica e fisica
hello there, ero apparentemente morto
Tranquillo, questo forum ti tratterrà per ricambiare il bene che ti è stato dato.
"feddy":
[ot][quote="zio_mangrovia"]è un testo universitario
Ah, non lo sapevo. Sinceramente la cosa mi lascia perplesso.[/ot]
In ogni caso, anto, arnett e io abbiamo proposto tre possibili strade. Spero che le cose ti siano più chiare ora.
Forse ti conviene studiare un po' di teoria sulle EDO, anche se nel tuo corso magari non le hai ancora fatte. Così facendo avresti gli strumenti necessari per comprendere meglio il tuo testo[/quote]
Ho già passato entrambi gli esami di analisi ma mi sono accorto che la mia capacità conservativa è di pochi mesi poi tutto svanisce pian piano
Provo di nuovo a ripassarle.
Prendi un buon testo di Analisi I, studia lì (se e quando avrai tempo) e cerca di svolgere gli esercizi in modo "critico", non "per passare l'esame" (visto che ci sei già riuscito). Sicuramente ne trarrai vantaggio e ti sarà utile in fisica e in futuro.
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo