Equazione differenziale

[Sk_Anonymous]

\(\displaystyle xy'=logy \)
per favore qualcuno può aiutarmi a risolvere questa equazione differenziale di primo ordine ? grazie

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]@lollo251995: vedo che sei nuovo sul forum, ma vedo anche che in pochi messaggi hai già infranto diverse norme del regolamento, che ti invito a leggere. Questo non è il modo di comportarsi sul nostro forum, quindi ti invito a modificare i tuoi messaggi precedenti per renderli conformi al regolamento.[/xdom]

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[pilloeffe]

Ciao lollo251995,

L'equazione differenziale proposta è non lineare a variabili separabili del primo ordine, ma il risultato dipende dalla funzione integrale logaritmico (logarithmic integral in inglese) definita nel modo seguente:

[tex]\begin{equation}
\boxed{\text{li$(x)$} :=
\begin{cases}
\int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} & \text{ per $0 < x < 1$} \\
& \hskip 3.0cm \\
\text{PV} \int_0^x \frac{dt}{\ln(t)} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \bigg[\int_0^{1 - \varepsilon} \frac{dt}{\ln(t)} - \int_{1 + \varepsilon}^x \frac{dt}{\ln(t)}\bigg] & \text{ per $ x > 1$}
\end{cases}}
\end{equation}[/tex]

Infatti si ha:

$xy' = ln(y) $

$frac{dy}{ln(y)} = frac{dx}{x} $

che integrata porge

$\text{li}(y) = ln(x) + c \implies y(x) = \text{li}^{- 1}(ln(x) + c) $