Equazione differenziale

[wanderer1]

Ciao,
Durante la lezioni di analisi 1, la nostra prof ci ha proposto la soluzione di questo semplice problema di Cauchy:
\begin{cases} y\prime = \frac{y}{x} + 1 \\ y(-1)=2\end{cases}
Alla fine dei calcoli si giunge a:
\begin{cases} y= x(\log |x| + c) \\ y(-1)=2\end{cases}
Adesso si ricava facilmente $c=-2$, ma a questo punto la mia prof afferma che, in quanto ci è stato fornito un dato certo in $x$ negativo ($y(-1)=2$) si toglie il modulo (restringendo il dominio a $x < 0$) e si giunge infine alla soluzione:
\[y=x(\log (-x)-2)\]
Io non ho capito la necessità di togliere il modulo e di restringere il dominio... Perché la funzione con il modulo non avrebbe costituito una soluzione valida del problema?

Grazie

[donald_zeka]

Le soluzioni delle equazioni differenziali vanno ricercate in un intervallo; nel tuo caso, il dominio delle soluzioni è dato da $x!=0$, ossia $(-oo, 0) uu (0, +oo$), che non è un intervallo, ma un'unione di due intervalli. Se ti viene dato il valore che assume la funzione in $x<0$ significa che bisogna considerare l'intervallo sinistro, quindi le soluzioni si trovano in quell'intervallo sinistro $(-oo, 0)$

[wanderer1]

Grazie!