Equazione differenza. Mi sono bloccata
Ciao ragazzi, ho provato a risolvere questa equazione differenziale tramite il cambiamento di variabili ma non mi esce. Qualcuno sa come si fa? Vuole determinato l integrale generale
$ x^2y''(x)-4xy'(x)+6y(x)=x^3+2 $
$ x^2y''(x)-4xy'(x)+6y(x)=x^3+2 $
Risposte
Questa equazione si risolve separatamente su $ (-oo,0) $ et $ (0,+oo) $
Per $ x in(0,+oo) $ con $ x=e^t $ si ha
$ z(t)=y(e^t) $
$ z'(t)=dy/(d(e^t))(d(e^t))/(dt)=dy/(d(e^t))e^t=xy' $
$ z''(t)=(d^2y)/(d(e^t)^2)e^(2t)+dy/(d(e^t))e^t=x^2y''+xy' $
da cui (tratto l'equazione omogenea, per la soluzione particolare sara' un discorso a parte. La soluzione generale sara' la somma della soluzione dell'omogenea e quella particolare)
$ (z''-z')-4z'+6z=0 $
$ z''-5z'+6z=0 $
Per $ x in (-oo,0) $ si usa $ x=e^-t $ procedendo similmente.
Fino qui ok?
Per $ x in(0,+oo) $ con $ x=e^t $ si ha
$ z(t)=y(e^t) $
$ z'(t)=dy/(d(e^t))(d(e^t))/(dt)=dy/(d(e^t))e^t=xy' $
$ z''(t)=(d^2y)/(d(e^t)^2)e^(2t)+dy/(d(e^t))e^t=x^2y''+xy' $
da cui (tratto l'equazione omogenea, per la soluzione particolare sara' un discorso a parte. La soluzione generale sara' la somma della soluzione dell'omogenea e quella particolare)
$ (z''-z')-4z'+6z=0 $
$ z''-5z'+6z=0 $
Per $ x in (-oo,0) $ si usa $ x=e^-t $ procedendo similmente.
Fino qui ok?
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