Equazione della retta tangente ad una Curva
Ciao a tutti, l'esercizio mi chiede:
Dopo aver verificato la regolarità della curva in $t_0$, scrivere l'equazione della retta tangente alla curva in $r(t_0)$ dove:
$r(t)=((5+t)^(1/2),3t,cos^2(t+1))$ con $t_0=-1$
L'ho svolto nella seguente maniera:
ho calcolato $r(-1)=(2,-3,1)$, successivamente $r'(t)=(1/(2 (5+t)^(1/2)),3,-2(sin(t+1)cos(t+1)))$ , $|r'(t)|^2=1/(20+4t) + 9 + 4 sin^2(t+1) cos^2(t+1 )$ (diverso da zero) ed infine $r'(-1)=(1/4, 3,0)$. Una volta fatto ciò, scrivo l'equazione della retta tangente, riconducendomi a tale formula: $(x-x_0)/ (x'(t_0)) = (y-y_0)/ (y'(t_0))= (z-z_0)/(z'(t_0))$ . Il problema rimane $z'(t_0)$ che essendo zero(al denominatore) mi fa tendere la terza variabile $z$ a infinito.
Cosa ho sbagliato?
Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno
Dopo aver verificato la regolarità della curva in $t_0$, scrivere l'equazione della retta tangente alla curva in $r(t_0)$ dove:
$r(t)=((5+t)^(1/2),3t,cos^2(t+1))$ con $t_0=-1$
L'ho svolto nella seguente maniera:
ho calcolato $r(-1)=(2,-3,1)$, successivamente $r'(t)=(1/(2 (5+t)^(1/2)),3,-2(sin(t+1)cos(t+1)))$ , $|r'(t)|^2=1/(20+4t) + 9 + 4 sin^2(t+1) cos^2(t+1 )$ (diverso da zero) ed infine $r'(-1)=(1/4, 3,0)$. Una volta fatto ciò, scrivo l'equazione della retta tangente, riconducendomi a tale formula: $(x-x_0)/ (x'(t_0)) = (y-y_0)/ (y'(t_0))= (z-z_0)/(z'(t_0))$ . Il problema rimane $z'(t_0)$ che essendo zero(al denominatore) mi fa tendere la terza variabile $z$ a infinito.
Cosa ho sbagliato?
Grazie a tutti coloro che mi aiuteranno
Risposte
nessuno ?
Io userei la forma standard della retta tangente (che vale anche in \(\mathbb{R}^n\)):
\[
\gamma(t) = r(t_0) + (t-t_0)\, r'(t_0) .
\]
\[
\gamma(t) = r(t_0) + (t-t_0)\, r'(t_0) .
\]
Grazi Rigel per la risposta.
Avevo pensato di utilizzarla fino ad ottenere: \[ \gamma(t) = (2,-3,1) + (t-1)\, (1/4,3,0) . \]
Tuttavia, pensavo si potesse utilizzare solo il metodo fornito in classe.
A ogni modo col metodo da me proposto, è possibile giungere all'equazione della retta tangente ?
Grazie ancora e buonaserata!
Avevo pensato di utilizzarla fino ad ottenere: \[ \gamma(t) = (2,-3,1) + (t-1)\, (1/4,3,0) . \]
Tuttavia, pensavo si potesse utilizzare solo il metodo fornito in classe.
A ogni modo col metodo da me proposto, è possibile giungere all'equazione della retta tangente ?
Grazie ancora e buonaserata!
Se non ti piace così, elimina \(t\); puoi ad esempio ricavare \(t\) in funzione di \(y\) dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima (la terza equazione è \(z=1\) dove \(t\) non compare).
Ti ringrazio per il tempo che mi hai dedicato e per la disponibilità, Rigel! Gentilissimo 
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