Equazione del calore
Ciao, trovo difficoltà con una condizione al bordo. Dunque, il problema è il seguente:
Risolvere l'equazione del calore in un quadrato di lato $1$, con condizioni al bordo: $u(x,0)=x if 0
L'equazione del calore è $u_t=$ku_(xx).
Uso il metodo delle variabili separabili: $u(x,t)=X(x)T(t)$
Le condizioni quindi diventano: $u(x,1)=0, u(1,y)=0, u(0,y)=0$, e quindi $T(1)=0, X(1)=0, X(0)=0$.
$XT'=kX''T -> (T')/(kT)=(X'')/X=-(lambda)^2$
$X''=-(lambda)^2X -> X(x)=c_1cosmux+c_2sinmux$, quindi ho $c_1=0$ e l'autovalore è $(npi)^2$, mentre l'autofunzione è $sin(nxpi)$.
$T'=-(npi)^2kT -> T(t)=c_3e^(-n^2pi^2kt)$
A questo punto, sfruttando la condizione $T(1)=0$ troverei $c_3=0$, e quindi la soluzione nulla.
Risolvere l'equazione del calore in un quadrato di lato $1$, con condizioni al bordo: $u(x,0)=x if 0
L'equazione del calore è $u_t=$ku_(xx).
Uso il metodo delle variabili separabili: $u(x,t)=X(x)T(t)$
Le condizioni quindi diventano: $u(x,1)=0, u(1,y)=0, u(0,y)=0$, e quindi $T(1)=0, X(1)=0, X(0)=0$.
$XT'=kX''T -> (T')/(kT)=(X'')/X=-(lambda)^2$
$X''=-(lambda)^2X -> X(x)=c_1cosmux+c_2sinmux$, quindi ho $c_1=0$ e l'autovalore è $(npi)^2$, mentre l'autofunzione è $sin(nxpi)$.
$T'=-(npi)^2kT -> T(t)=c_3e^(-n^2pi^2kt)$
A questo punto, sfruttando la condizione $T(1)=0$ troverei $c_3=0$, e quindi la soluzione nulla.
Risposte
Se ho capito bene, le condizioni al contorno dovrebbero essere le seguenti:
1. $[t=0] ^^ [0
2. $[t>0] ^^ [x=0] rarr [u(0,t)=0]$
3. $[t>0] ^^ [x=1] rarr [u(1,t)=0]$
anche se non c'è continuità per $[t=0] ^^ [x=1]$.
Onestamente, non capisco quale delle $3$ condizioni sopra elencate rappresenti.
1. $[t=0] ^^ [0
2. $[t>0] ^^ [x=0] rarr [u(0,t)=0]$
3. $[t>0] ^^ [x=1] rarr [u(1,t)=0]$
anche se non c'è continuità per $[t=0] ^^ [x=1]$.
"Mirino06":
... sfruttando la condizione $T(1)=0$ troverei ...
Onestamente, non capisco quale delle $3$ condizioni sopra elencate rappresenti.
$T(1)=0$ l'avrei ricavata dalla condizione $u(x,1)=0$ che si riferisce al lato superiore del quadrato, parallelo all'asse delle ascisse.
"Mirino06":
$T(1)=0$ l'avrei ricavata dalla condizione $u(x,1)=0$ che si riferisce al lato superiore del quadrato, parallelo all'asse delle ascisse.
Ma sei sicuro di avere anche una condizione del seguente tipo:
4. $[t=1] ^^ [0
Solitamente, in questi problemi, si assegnano le $3$ condizioni che ho precedentemente elencato e si lascia $t>=0$.
In un esercizio che fece in classe il prof., c'era da risolvere un'equazione di Laplace; era assegnato un rettangolo, veniva data una condizione del tipo $u(x,m)=x(pi-x)$, e poi sugli altri tre lati del rettangolo era 0, ottenendo così le condizioni che avevo posto io.
L'esercizio che ho postato mi sembra identico, poiché il testo assegna una condizione su un lato, e "altrove", sugli altri lati, è 0.
L'esercizio che ho postato mi sembra identico, poiché il testo assegna una condizione su un lato, e "altrove", sugli altri lati, è 0.
Senza entrare nei dettagli, l'equazione del calore e l'equazione di Laplace sono equazioni alle derivate parziali di tipo diverso, non puoi pretendere che il teorema di esistenza e unicità si esprima nello stesso modo. Ripeto, nelle applicazioni fisiche che ricordo, l'equazione del calore veniva risolta con le condizioni al contorno che ti ho detto. Quindi, dovrebbe esistere almeno un teorema di esistenza e unicità espresso con quelle condizioni al contorno. Se poi ne esiste un altro, con condizioni al contorno diverse, non saprei dirti.
Ok, ti ringrazio.