Equazione con i complessi: forma algebrica ed esponenziale
Buongiorno a tutti. Ho davanti a me questo esercizio con i numeri complessi. In maniera algebrica trovo le radici giuste (controllato nelle soluzioni), mentre se uso quella esponenziale qualcosa non mi torna e 2 soluzioni su 3 sono differenti, anche se i segni sono corretti.
L'equazione è
$Z^2 - 2 \bar Z + 1 = 0$
Le soluzioni (corrette) sono $Z_1=1 Z_2= -1+2i Z_3=-1 -2i$ e algebricamente le ho trovate. Il problema sorge con gli esponenziali. Mostro qui come l'ho svolta io, magari troverete il mio errore.
Converto in esponenziali:
$\rho^2 *e^(2*\theta * i) + e^0 =2*e^0*\rho*e^(-\theta*i)$
Da qui uguaglio i $\roh$ tra loro e stessa cosa tra gli angoli
$\rho^2=2\rho - 1$
$2\theta= -\theta + 2k \pi$
Risolvo i conti e ottengo che
$\rho=1$
$\theta=(2/3) k\pi$
La $Z_1=1$ è giusta
Le altre due portate alla forma cartesiana non mi tornano
$Z_2= - (1/2) + sqrt(3)*i/2$
$Z_3= - (1/2) - sqrt(3)*i/2$
Sapreste spiegarmi dove sbaglio? Grazie
L'equazione è
$Z^2 - 2 \bar Z + 1 = 0$
Le soluzioni (corrette) sono $Z_1=1 Z_2= -1+2i Z_3=-1 -2i$ e algebricamente le ho trovate. Il problema sorge con gli esponenziali. Mostro qui come l'ho svolta io, magari troverete il mio errore.
Converto in esponenziali:
$\rho^2 *e^(2*\theta * i) + e^0 =2*e^0*\rho*e^(-\theta*i)$
Da qui uguaglio i $\roh$ tra loro e stessa cosa tra gli angoli
$\rho^2=2\rho - 1$
$2\theta= -\theta + 2k \pi$
Risolvo i conti e ottengo che
$\rho=1$
$\theta=(2/3) k\pi$
La $Z_1=1$ è giusta
Le altre due portate alla forma cartesiana non mi tornano
$Z_2= - (1/2) + sqrt(3)*i/2$
$Z_3= - (1/2) - sqrt(3)*i/2$
Sapreste spiegarmi dove sbaglio? Grazie
Risposte
Credo che abbia fatto un errore grave sulle proprietà delle potenze, una cosa del tipo $a^x+a^y=a^z$ l'hai fatto diventare $x+y=z$
E' riferito al quando ho sommato da una parte i $\rho$ e sotto le $\theta$? Questo metodo l'ho usato identico e preciso per altri esercizi con successo ed è quello che poi ci ha spiegato e consigliato il professore...
Qualcuno riesce a vedere l'errore che ho fatto per caso?
Da quando in qua il modulo della somma è uguale alla somma dei moduli?
Mmm...ho semplicemente calcolato la parte reale separatamente dalla parte immaginaria, quindi da una parte i termini senza i (che poi sarebbero i moduli) e da una parte gli angoli con i.
Ma perchè, se [tex]$z^2=2\overline{z} -1$[/tex] allora [tex]$|z^2|=|2\overline{z}|-1$[/tex]?
Io non credo proprio...
Io non credo proprio...
Su questo hai certamente ragione. Ma non riesco a collegare la cosa. Io non ho imposto nessun valore assoluto, ho solo convertito con la formula $Z^n=\rho^n * e^(n* \theta * i)$.
E l'uguaglianza [tex]$\rho^2 =2\rho -1$[/tex] allora da dove esce?
Dalla forma esponenziale. Con la formula presa prima ho fatto modulo * e e ho riportato l'angolo negativo in modo tale che l'angolo fosse il coniugato rispetto a Z.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo