Equazione complessa ostica.

[Ariz93]

Ho delle incertezze sulle possibili soluzioni di quest'equazione complessa:

\begin{cases}z^3 \bar w^2 -(\sqrt{3}-i)=0\\ \bar z -w^2=0\end{cases}

La mia soluzione è stata:

\begin{cases} z= \bar w^2 \\ z^4= \sqrt{3}-i \end{cases}
quindi z viene :
\( z= \sqrt[4]{\sqrt{3}-i} \)

\(\rho=2\), \( \theta=\frac{5 \pi}{6} \)

\(z={\sqrt[4]{2}(cos \frac{47 \pi}{24}+\frac{2k\pi}{4})+i sin(\frac{47 \pi}{24}+\frac{2k\pi}{4})} \) per \(k=0,...,3\)

quindi \(w=\sqrt{\bar z} \)

\(w={\sqrt[8]{2}(cos(\frac{5 \pi}{48}+\frac{2k\pi}{8})+i sin(\frac{5 \pi}{48}+\frac{2k\pi}{8})} \) per \(k=0,...,7\)

ora ,io professore si è ricavato prima w e trova 8 soluzioni,trovando successivamente z da sempre \(k=0,...,7\)
e non \(k=0,...,3\) sapreste spiegarmi perché e se è giusto(ha sbagliato diverse volte durante le soluzioni)
inoltre a lui viene l'opposto del mio angolo in z e w , cioè per z gli viene \(\frac{47 \pi}{24}+\frac{2k\pi}{4} \) e per w gli viene, \( \frac{5 \pi}{48}+\frac{2k\pi}{8} \)

[Ariz93]

Up!!!!!