Equazione complessa in forma esponenziale
Salve,
sto tentando di risolvere questa semplice equazione complessa (già risolta con la notazione trigonometrica) attraverso la forma esponenziale. Però i risultati non mi tornano...
$z^6+z^3+2=0$
Porto il 2 dall'altra parte e mi trovo modulo ed argomento dello stesso.
Quindi riscrivo:
$\rho^6 e^(6\theta i)+\rho^3e^(3\theta i)=2e^(i 3/2 \pi)
...Ed è a questo punto che ho dei dubbi su come continuare. Avevo pensato di raccogliere in questo modo...
$\rho^3e^(3\theta i)* (\rho^3e^3+1)=2e^(i 3/2 \pi)$
...Ma poi che faccio? Praticamente mi trivo due moduli...e c'è quella $e^3$!
Potreste aiutarmi?
Grazie infinite!!
sto tentando di risolvere questa semplice equazione complessa (già risolta con la notazione trigonometrica) attraverso la forma esponenziale. Però i risultati non mi tornano...
$z^6+z^3+2=0$
Porto il 2 dall'altra parte e mi trovo modulo ed argomento dello stesso.
Quindi riscrivo:
$\rho^6 e^(6\theta i)+\rho^3e^(3\theta i)=2e^(i 3/2 \pi)
...Ed è a questo punto che ho dei dubbi su come continuare. Avevo pensato di raccogliere in questo modo...
$\rho^3e^(3\theta i)* (\rho^3e^3+1)=2e^(i 3/2 \pi)$
...Ma poi che faccio? Praticamente mi trivo due moduli...e c'è quella $e^3$!
Potreste aiutarmi?
Grazie infinite!!
Risposte
Io considererei che è una equazione trinomia e farei la sostituzione $z^3=t$:
$t^2 + t + 2 =0$
Questa eq. in $t$ ammette come soluzioni: $t_1 = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = e^{2/3 \pi i}$ e $t_2 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{4/3 \pi i}$ .
Per ricavare $z$ si risolve le eq.in forma esponenziale
$z^3 = e^{2/3 \pi i}$
e
$z^3 = e^{4/3 \pi i}$
$t^2 + t + 2 =0$
Questa eq. in $t$ ammette come soluzioni: $t_1 = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = e^{2/3 \pi i}$ e $t_2 = \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{4/3 \pi i}$ .
Per ricavare $z$ si risolve le eq.in forma esponenziale
$z^3 = e^{2/3 \pi i}$
e
$z^3 = e^{4/3 \pi i}$
Sì, ho risolto...Ho considerato $z^3=w$, trovando le due soluzioni, e solo dopo ho messo in forma esponenziale per avere le soluzioni! Grazie mille:)
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