Equazione complessa. Dubbio
Ciao a tutti ho un dubbio nell'aver risolto questo esercizio.
Determinare le soluzioni \(\displaystyle z\in \mathbb{C} \) dell'equazione e rappresentarle nel piano complesso
\(\displaystyle \frac{z^4}{(\bar{z})^2}(\sqrt{3}-\imath)^3=(1+\imath)^2 \)
L'esercizio l'ho svolto così, ditemi se vi è qualche errore.
ho portato tutto in forma esponenziale
\(\displaystyle z^4= \rho^4 e^{\imath (4\theta)} \)
\(\displaystyle (\bar{z})^2 = \rho^2 e^{\imath (-2\theta)}\)
\(\displaystyle (\sqrt{3}-\imath)^3 \rightarrow 8 e^{\imath (-\frac{\pi}{2})} \)
\(\displaystyle (1+\imath)^2 \rightarrow 2 e^{\imath (\frac{\pi}{2})} \)
mettendo insieme il tutto e calcolando diventa \(\displaystyle p^2 e^{\imath (6\theta)} 8 e^{\imath(-\frac{\pi}{2})}=2 e^{\imath (\frac{\pi}{2})}\rightarrow 8\rho^2 e^{\imath (6\theta - \frac{\pi}{2})}=2e^{\imath (\frac{\pi}{2})} \)
eguagliando i moduli \(\displaystyle 8\rho^2=2 \rightarrow \rho =\frac{1}{2} \)
eguagliando gli argomenti \(\displaystyle 6\theta-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \rightarrow \theta=\frac{\pi +2k\pi}{6}\) con \(\displaystyle k=0,1,2,3,4,5 \)
Ecco, non mi convince la soluzione! Ditemi se vi è qualche errore!
GRAZIE IN ANTICIPO!
Determinare le soluzioni \(\displaystyle z\in \mathbb{C} \) dell'equazione e rappresentarle nel piano complesso
\(\displaystyle \frac{z^4}{(\bar{z})^2}(\sqrt{3}-\imath)^3=(1+\imath)^2 \)
L'esercizio l'ho svolto così, ditemi se vi è qualche errore.
ho portato tutto in forma esponenziale
\(\displaystyle z^4= \rho^4 e^{\imath (4\theta)} \)
\(\displaystyle (\bar{z})^2 = \rho^2 e^{\imath (-2\theta)}\)
\(\displaystyle (\sqrt{3}-\imath)^3 \rightarrow 8 e^{\imath (-\frac{\pi}{2})} \)
\(\displaystyle (1+\imath)^2 \rightarrow 2 e^{\imath (\frac{\pi}{2})} \)
mettendo insieme il tutto e calcolando diventa \(\displaystyle p^2 e^{\imath (6\theta)} 8 e^{\imath(-\frac{\pi}{2})}=2 e^{\imath (\frac{\pi}{2})}\rightarrow 8\rho^2 e^{\imath (6\theta - \frac{\pi}{2})}=2e^{\imath (\frac{\pi}{2})} \)
eguagliando i moduli \(\displaystyle 8\rho^2=2 \rightarrow \rho =\frac{1}{2} \)
eguagliando gli argomenti \(\displaystyle 6\theta-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \rightarrow \theta=\frac{\pi +2k\pi}{6}\) con \(\displaystyle k=0,1,2,3,4,5 \)
Ecco, non mi convince la soluzione! Ditemi se vi è qualche errore!
GRAZIE IN ANTICIPO!
Risposte
Mi sembra corretto.
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