Equazione complessa

[Pittul]

Ciao, devo dire per quale n (5,7,9,11) questa equazione è verificata:
$ [(sqrt(3)+i)/2]^n = -i $
Io ho risolto elevando tutto al quadrato (solo alla fine mi sono resa conto che è un passaggio inutile) ottenendo così
$ [(1+isqrt(3))/2]^n=-1 $
poi, tramite il triangolo di Tartaglia, ho risolto l'equazione per tutti gli n proposti ed ho trovato che la risposta è n = 9. So che il mio procedimento è tecnicamente corretto, ma mi sembra assurdamente lungo e complicato e vorrei sapere se avete qualche idea per risolvere questo esercizio in modo più logico.

[wanderer1]

Ciao,
ti conviene ragionare sulla forma polare dei numeri complessi. Se converti entrambi i membri in coordinate polari, ti accorgerai che per risolvere l'equazione basta uguagliare gli angoli dei due numeri complessi, e ti ritrovi con: $n/6 \pi = 3/2 pi$

[Pittul]

Come si fa a convertirli in coordinate polari?

[sine nomine1]

"Pittul":Come si fa a convertirli in coordinate polari?

Se hai un numero complesso $ z=a+ib $ per riscriverlo in forma polare devi trovare modulo e argomento:
modulo: $ rho =sqrt(a^2+b^2) $
argomento: $ vartheta = arctan(b/a) $
Per l'argomento nel caso $ a $ fosse 0 allora $ vartheta $ = $ pi /2 $ se $ b>0 $ , $ 3/2pi $ se $ b<0 $. Non è definito se $ b=0 $ .
A questo punto la forma polare è data da: $ rho (cos(vartheta )+isin(vartheta )) $

[Pittul]

Grazie mille, ma non capisco come applicarlo nell'esercizio. Devo trasformare la roba tra parentesi in polari e metterla uguale alla roba fuori (-i) sempre trasformata in polari? E l'esponente che fine fa?