Equazione coi numeri complessi
Ciao, non sono sicuro di aver svolto correttamente la seguente equazione coi numeri complessi, qualcuno potrebbe indicarmi eventuali errori nel procedimento? Grazie
\(z^{4}-2iz^{2}-1=(1+i)^{2}\)
Ho portato a sinistra la parentesi e sviluppato il quadrato di binomio.
\(z^{4}-2iz^{2}-1-2i=0\)
A questo punto ho impostato \(t=z^{2}\).
\(t=\frac{2i\pm\sqrt{8i}}{2}\)
Ho calcolato le radici quadrate di 8i che mi risultano essere \(\pm(2+2i)\), quindi dalla formula viene che \(t=2i+1\) e \(t=-1\).
A questo punto ho sostituito \(z^{2}\) a t, e ne viene che le radici di z sono \(\pm\sqrt{2i+1}\)(dovrei calcolarla?) e \(\pm i\) (perchè soluzioni di \(z^{2}=-1\)).
\(z^{4}-2iz^{2}-1=(1+i)^{2}\)
Ho portato a sinistra la parentesi e sviluppato il quadrato di binomio.
\(z^{4}-2iz^{2}-1-2i=0\)
A questo punto ho impostato \(t=z^{2}\).
\(t=\frac{2i\pm\sqrt{8i}}{2}\)
Ho calcolato le radici quadrate di 8i che mi risultano essere \(\pm(2+2i)\), quindi dalla formula viene che \(t=2i+1\) e \(t=-1\).
A questo punto ho sostituito \(z^{2}\) a t, e ne viene che le radici di z sono \(\pm\sqrt{2i+1}\)(dovrei calcolarla?) e \(\pm i\) (perchè soluzioni di \(z^{2}=-1\)).
Risposte
Nulla da ridire sul procedimento usato. "Purtroppo" dovrai calcolare le radici quadrate di $2i+1$ per completare l'esercizio.
Il tuo metodo va più che bene, ma se aguzziamo la vista in questo caso...
\( z^{4}-2iz^{2}-1=(1+i)^{2} \)
... si può anche notare per il termine al primo membro che
$z^4-2iz^2-1 = (z^2-i)^2$
Qukndi abbiamo
$(z^2-i)^2=(1+i)^2$
e possiamo estrarre le radici quadrate in ambo i membri e risolvere le due equazioni
$z^2-i = \ pm (1+i)$
\( z^{4}-2iz^{2}-1=(1+i)^{2} \)
... si può anche notare per il termine al primo membro che
$z^4-2iz^2-1 = (z^2-i)^2$
Qukndi abbiamo
$(z^2-i)^2=(1+i)^2$
e possiamo estrarre le radici quadrate in ambo i membri e risolvere le due equazioni
$z^2-i = \ pm (1+i)$
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