Equazione alle derivate parziali.. help!

[fausto85]

Salve a tutti,

mi potreste aiutare a risolvere questa equazione alle derivate parziali?

Ho già trovato le regioni di iperbolicità e parabolicità e ora l'esercizio mi chiede di :

1) riportare l'equazione in forma canonica e di trovare l'integrale generale;

\( x^2Uxx - y^2Uyy=0 \)

Io c'ho ragionato su ma non riesco a continuare.

Ve ne sarei molto grato !

[gugo82]

Facci vedere cosa hai fatto finora.
L'equazione è:
\[
x^2\ u_{xx} -y^2\ u_{yy}=0\; ,
\]
giusto?

[fausto85]

Ciao si l'equazione è quella che hai scritto.

Fin'ora ho ricavato le regioni di Iperbolicità e parabolicità risolvendo l'equazione delle linee caratteristiche :

\( A(Y')^2-B(Y')+C=0 \)

Con A = \( x^2 \)

C= \( -y^2 \)

e come se fosse un'equazione di 2° grado in Y' , dal determinante ho visto che comunque x,y il determinante è maggiore di zero (quindi è iperbolica) mentre gli assi ( x=0, y ; x, y=0) il determinante è 0 quindi è parabolica.

poi, poiché \( Y'=dy/dx \) , ho risolto l'equazione differenziale a variabili separabili fino a trovare le equazioni caratteristiche : \( y=cx \)

Il problema è che non so come impostare un modo per trovare la forma canonica e l'integrale generale.

Spero mi possiate aiutare.

Grazie