Equ. Differenziale lineare NON Omogenea Aiuto!!!!

[franc.messina]

y^4+y=2sinxcosx

non riesco a risolvere l'equazione, potete aiutarmi per favore a capire il metodo giusto per affrontare questo tipo di equazione?
Grazie anticipatamente per il vostro impegno.

[DRT1]

è a coefficienti costanti.

[franc.messina]

si, ma trovo difficoltà...
puoi aiutarmi sviluppandola?

[Marco831]

Quella che hai scritto non è un'equazione differenziale! Non compare nessuna incognita derivata.

[franc.messina]

correggo:
Y^(IV)+y=2sinxcosx

[Marco831]

Allora la cosa è banale...
risolvi prima l'omogenea associata y(IV)+y=0 con il classico metodo per le edo lineari.
A questo punti trasformi il termine a secondo membro in sin2x e applichi le formule per i termini trigonometrici.

[franc.messina]

scusa la mia ignoranza...
..l'omogenea associata y(IV)+y=0 con il classico metodo per le edo lineari...?????
tieni presente il mio basso livello conoscitivo

[DRT1]

il procedimento è palloso ma una volta imparato.. come tutte le cose diventano conti.

Risolvi prima l'omogenea associata

Y^(IV)+y = 0

e ne trovi un integrale generale ! Attento alle molteplicità delle redici!


poi fai


e^(alpha)x [ A(x) * cos(Bx) + B(x) * sen(Bx)]= 2sinxcosx


e ricavi alpha, A(x), B(x), B.

Poi.. ora non sto a scrivere tutto il procedimento. Sei a conoscenza, anche per grandi linee, di questo procedimento?
Prima imparalo, poi se hai dubbi chiedi. E' palloso scriverlo tutto.

[franc.messina]

io ho problemi nel tovare le radici perchè l'equazione associata è: x^4+1=0
che ha soluzioni?

[franc.messina]

??

[franc.messina]

?? vi prego è importante

[Marco831]

Ok, te la svolgo io.
Le radici le devi cercare nel campo complesso e conincidono don le radici complesse del quarto ordine di -1, cioè:
a1=(1+i)/sqrt(2)
a2=(i-1)/sqrt(2)
a3=(-1-i)/sqrt(2)
a4=(1-i)/sqrt(2)
ottieni quindi l'equazione dell'omogenea associata:
y0=Aexp(x/sqrt(2))*cos(x/sqrt(2))+Bexp(x/sqrt(2))*sin(x/sqrt(2))+Cexp(-x/sqrt(2))*cos(x/sqrt(2))+Dexp(-x/sqrt(2))*sin(x/sqrt(2));
A questo punto un integrale particolare è yp=Msin(2x)+Ncos(2x)
Mediante sostituzione diretta nell'equazione di partenza ottieni:
M=1/17 e N=0.
Sommi yo a yp e hai la soluzione

[franc.messina]

Grazie mille, mi inchino al tuo sapere.

[franc.messina]

non riesco a capire come hai trovato le radici.
Esiste una regola visto che il polinomio non è scomponibile.

[Marco831]

Per trovare le radici è sufficiente che tu risolva l'equazione
z^4+1=0 IN CAMPO COMPLESSO!!!!

P.s. Non ho mai chiesto a nessuno di inchinarsi!

[g.schgor1]

Forse non v'interessa, ma vi mostro come
(in pochi minuti) si puo'risolvere il problema.


Il grafico riporta la funzione risultante (in rosso) e
le sue 4 derivate (in particolare la quarta in nero)