Eq. differenziale secondo ordine, termine noto prodotto...

[Roccop86]

Ciao a tutti...devo risolvere la seguente equazione differenziale:

$ y'' - 4y = 2xcosx $

dal momento che le radici dell'equazione caratteristica sono +2 e -2 la soluzione dell'omogenea associata dovrebbe essere:

$ y= c1e^{2x} + c2e^{-2x} $


mentre gli appunti del professore riportano:

$ y= c1sin 2x + c2cos 2x $


Ho sbagliato qualcosa? Oppure come passo dal mio risultato all'altro?
Nel proseguo dell'esercizio per calcolare la soluzione particolare si parte da questa forma:

$ yp=(Ax+B)cos x + (Cx+D)sin x $

E' possibile omettere la parte con il seno (visto che nel termine noto dell'equazione non compare)? Sul libro dice che quando manca il termine y' nell'equazione lo si può fare...ma è sempre possibile? in questo caso ad esempio?


Grazie mille a chi mi toglie questi dubbi...

[gugo82]

Probabilmente hai sbagliato a copiare il segno (o il professore ha sbagliato a copiarlo alla lavagna); insomma nell'equazione c'era un [tex]$+4$[/tex] al posto del [tex]$-4$[/tex].

[Roccop86]

dopo un po' di ragionamento sono arrivato a conclusione che sia giusto il testo dell'esercizio, ma totalmente errata la risoluzione...
Provo a risolverlo io, ditemi dove sbaglio...

la soluzione sarà:

$ y=C1e^(2x) + C2e^(-2x) + yp $

Con C1 e C2 costanti da determinare e yp la soluzione particolare, che vado ora a calcolare:

$ yp=(Ax+B)cosx + (Cx+D)sinx $

$ yp=Axcosx + Bcosx + Cxsinx + Dsinx $

$ yp'= Acosx - Axsinx - Bsinx + Csinx + Cxcosx + Dcosx $

$ yp''= - Asinx - Asinx - Axcosx - Bcosx + Ccosx + Ccosx - Cxsinx - Dsinx $

Calcolo le costanti A,B,C e D:

$ - Asinx - Asinx - Axcosx - Bcosx + Ccosx + Ccosx - Cxsinx - Dsinx = 2xcosx $

ho:

A=-2
B=0
C=0
D=4

Quindi:

$ y=C1e^(2x) + C2e^(-2x) - 2xcosx + 4sinx $

$ y'=2C1e^(2x)-2C2e^(-2x)-2cosx+2xsinx+4cosx $

0=C1 + C2
0=2C1-2C2+2

C1=-1/2
C2=1/2

In conclusione si ha:

$ y=-1/2e^(2x) + 1/2e^(-2x) - 2xcosx + 4sinx $

Ma putroppo questa soluzione è sbagliata, solo non capisco dov'è l'errore!! Per la cronaca la soluzione giusta è questa:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-4y%3D2xcosx,y(0)%3D0,y'(0)%3D0[/url]

Chi mi aiuta?

[Angelo D.1]

"Roccop86":Calcolo le costanti A,B,C e D:

$ - Asinx - Asinx - Axcosx - Bcosx + Ccosx + Ccosx - Cxsinx - Dsinx = 2xcosx $

Sbagli qui, cioè nell'impostare l'uguaglianza, ricorda che l'equazione differenziale di partenza era:

[tex]y'' - 4y = 2x\cos x[/tex]

Allora l'ugaglianza corretta dev'essere:

[tex]- A\sin x - A\sin x - Ax\cos x - B\cos x + C\cos x + C\cos x - Cx\sin x - D\sin x - 4(Ax\cos x + B\cos x + Cx\sin x + D\sin x) = 2x\cos x[/tex]

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