Eq differenziale con esp complessi, forse ci sono ma...
Stavo calcolando (lo so che è semplice... Abbiate pazienza..):
$y^('') - 2y^{\prime} + 20 y = 0 $
Con delta<0 quindi arrivo alla fine che devo trovare le soluzioni in R.
Arrivo a:
$e^xe^(isqrt(19)x)= e^x(cos(sqrt(19)x)+isin(sqrt(19)x))$
$e^xe^(-isqrt(19)x)= e^x(cos(sqrt(19)x)-isin(sqrt(19)x))$
Come faccio a renderle reali?
$y^('') - 2y^{\prime} + 20 y = 0 $
Con delta<0 quindi arrivo alla fine che devo trovare le soluzioni in R.
Arrivo a:
$e^xe^(isqrt(19)x)= e^x(cos(sqrt(19)x)+isin(sqrt(19)x))$
$e^xe^(-isqrt(19)x)= e^x(cos(sqrt(19)x)-isin(sqrt(19)x))$
Come faccio a renderle reali?
Risposte
Le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\lambda_{1,2}=-1 \pm j \sqrt{19}$, quindi, se non erro, se soluzioni dell'equazione differenziale sono $e^{-x} \cos(\sqrt{19}x)$ e $e^{-x} \sin(\sqrt{19}x)$.
"Tipper":
Le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\lambda_{1,2}=-1 \pm j \sqrt{19}$, quindi, se non erro, se soluzioni dell'equazione differenziale sono $e^{-x} \cos(\sqrt{19}x)$ e $e^{-x} \sin(\sqrt{19}x)$.
Ciao Tipper!
Scusa perché quel $-1$?
Vabbé, cmq sia, come fai ad arrivare alla soluzione finale?
Usi: $y^('') + y = 0$?
Cerco la combinazione lineare finale con la somma di costanti arbitrarie.
Grazie
"Tipper":
Le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\lambda_{1,2}=-1 \pm j \sqrt{19}$, quindi, se non erro, se soluzioni dell'equazione differenziale sono $e^{-x} \cos(\sqrt{19}x)$ e $e^{-x} \sin(\sqrt{19}x)$.
sono $\lambda_{1,2}=1 \pm j \sqrt{19}$
Sì, mi è scappato un meno, pardon...
E' questo che sto cercando in R? (Giusto per capire che sto a fa... 
)
$c_1e^{x} \cos(\sqrt{19}x) + c_2e^{x} \sin(\sqrt{19}x)$
)$c_1e^{x} \cos(\sqrt{19}x) + c_2e^{x} \sin(\sqrt{19}x)$
Sì, è quello.
GRAZiE RaGa'
Scusate ancora, son tardone...
Ma come si arriva fin lì? Che formula è stata usata? Come si chiama?
(Sul mio libro c'é quella di Eulero e basta...)
Ma come si arriva fin lì? Che formula è stata usata? Come si chiama?
(Sul mio libro c'é quella di Eulero e basta...)
Beh, a me hanno semplicemente insegnato che se le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\sigma \pm j \omega$ allora le funzioni associate sono $e^{\sigma x}\cos(\omega x)$ e $e^{\sigma x}\sin(\omega x)$...
devi scrivere la soluzione generale come combinazione lineare di funzioni base linearmente indipendenti; tu hai trovato $e^((1+isqrt(19))x)$ che con la formula di eulero puoi vedere come $e^((1+isqrt(19))x)=e^x(cos(sqrt(19)x)+isin(sqrt(19)x))$. Ora però ti serve una coppia di funzioni base lin. indip. a valori reali: queste le puoi prendere da $y_1(x)=Re[e^((1+isqrt(19))x)]=e^xcos(sqrt(19)x)$ e da $y_2(x)=Im[e^((1+isqrt(19))x)]=e^xsin(sqrt(19)x)$.
Pertanto la sol generale si può esprimere nella forma:
$y(x)=c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x)$
Pertanto la sol generale si può esprimere nella forma:
$y(x)=c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x)$
"Tipper":
Beh, a me hanno semplicemente insegnato che se le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\sigma \pm j \omega$ allora le funzioni associate sono $e^{\sigma x}\cos(\omega x)$ e $e^{\sigma x}\sin(\omega x)$...
Grazie Tipper!
Mi sa che anch'io farò così...
(Almeno ora)"luca.barletta":
devi scrivere la soluzione generale come combinazione lineare di funzioni base linearmente indipendenti; tu hai trovato $e^((1+isqrt(19))x)$ che con la formula di eulero puoi vedere come $e^((1+isqrt(19))x)=e^x(cos(sqrt(19)x)+isin(sqrt(19)x))$. Ora però ti serve una coppia di funzioni base lin. indip. a valori reali: queste le puoi prendere da $y_1(x)=Re[e^((1+isqrt(19))x)]=e^xcos(sqrt(19)x)$ e da $y_2(x)=Im[e^((1+isqrt(19))x)]=e^xsin(sqrt(19)x)$.
Pertanto la sol generale si può esprimere nella forma:
$y(x)=c_1*y_1(x)+c_2*y_2(x)$
Sei un'enciclopedia!
Per ora, per me, è troppo difficile da capire... Queste cose devo studiarle.
Ma mi accontento così!
Grazie 1000000!
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