Eq. differenziale

[16chicca90]

dove poter studiare le eq. differenziale ?

sul mio libro non vede esempi utili per risolvere questo esercizio

y''+y'/x =2/x^3
y(-1)=1$, y'(-1)=0

[ciampax]

Il problema di Cauchy è il seguente

[math]\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle y''+\frac{y'}{x}=\frac{2}{x^3}\\ \\ y(-1)=0\\ y'(-1)=0
\end{array}\right.[/math]

Per prima cosa osserva che

[math]x\neq 0[/math]

. Ora procedi così: sostituisci

[math]z=y'[/math]

, in questo modo l'equazione diventa

[math]z'+\frac{z}{x}=\frac{2}{x^3}[/math]

che risulta una equazione lineare nella incognita

[math]z(x)[/math]

. Detti

[math]a(x)=\frac{1}{x},\qquad b(x)=\frac{2}{x^3}[/math]

si ha

[math]A(x)=\int a(x)\ dx=\log x[/math]

e quindi

[math]z(x)=e^{-A(x)}\left[\int b(x)\ e^{A(x)}\ dx+c\right]=
e^{-\log x}\left[\int\frac{2}{x^3} e^{\log x}\ dx+c\right]=\\
\frac{1}{x}\left[\int \frac{2}{x^2}\ dx+c\right]=\frac{1}{x}\left[-\frac{2}{x}+c\right]=-\frac{2}{x^2}+\frac{c}{x}[/math]

Dal momento che

[math]y'(-1)=z(-1)=0[/math]

segue che

[math]0=-2-c\ \Rightarrow\ c=-2[/math]

e quindi

[math]y'(x)=z(x)=-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x}[/math]

da cui

[math]y(x)=\frac{2}{x}-2\log |x|+k[/math]

e dalla condizione iniziale

[math]0=-2-2\log 1+k=-2+k\ \Rightarrow\ k=2[/math]

La soluzione è pertanto

[math]y(x)=\frac{2}{x}-2\log|x|+2=\frac{2(1+x)}{x}-\log x^2[/math]