Eq. diff. del primo ordine
Ciao a tutti. Ho provato a risolvere un'eq. diff. del primo ordine in due modi diversi, ma i conti non tornano.
L'equazione è: $y'=y (1-y) $. Voglio ricavare $y $ tra $0$ e $t $.
1° modo: $y'=y (1-y) =>y=\int_(0)^(t) y (1-y)dy=\int_(0)^(t) y dy - \int_(0)^(t) y^2 dy = \frac {t^2}{2}-\frac {t^3}{3}$
2° modo: essendo un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, ho:
$\int_(0)^(t) \frac {dy}{y (1-y)}=\int_(0)^(t) dx => log|\frac {y}{1-y}| (t) - log|\frac {y}{1-y}| (0) = t+ C => ...$.
Ma così facendo ottengo un' equazione con la sola variabile $t $ e non $y $. Come faccio, quindi?
Il primo metodo è comunque giusto?
P.S. ho comunque problemi nel calcolare $log|\frac {y}{1-y}| (0)$ ...
L'equazione è: $y'=y (1-y) $. Voglio ricavare $y $ tra $0$ e $t $.
1° modo: $y'=y (1-y) =>y=\int_(0)^(t) y (1-y)dy=\int_(0)^(t) y dy - \int_(0)^(t) y^2 dy = \frac {t^2}{2}-\frac {t^3}{3}$
2° modo: essendo un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, ho:
$\int_(0)^(t) \frac {dy}{y (1-y)}=\int_(0)^(t) dx => log|\frac {y}{1-y}| (t) - log|\frac {y}{1-y}| (0) = t+ C => ...$.
Ma così facendo ottengo un' equazione con la sola variabile $t $ e non $y $. Come faccio, quindi?
Il primo metodo è comunque giusto?
P.S. ho comunque problemi nel calcolare $log|\frac {y}{1-y}| (0)$ ...
Risposte
Ciao, sleax.
Il primo modo è formalmente errato; l'integrale andrebbe risolto rispetto a $x$, non rispetto a $y$, ma ciò non sarebbe comunque fattibile, perchè la funzione integranda conterrebbe la stessa funzione incognita $y(x)$.
Il secondo modo è formalmente corretto, ma contiene un errore di calcolo (in un segno): nell'integrale iniziale la funzione
$1/(y(1-y))$
si decompone in
$1/y+1/(1-y)$ e non in $1/y-1/(1-y)$
quindi dovresti avere a che fare con un logaritmo di un prodotto, anzichè con un logaritmo di un rapporto.
Saluti.
P.S. Ho i miei dubbi sul fatto che l'estremo di integrazione inferiore possa essere pari a $0$...
Il primo modo è formalmente errato; l'integrale andrebbe risolto rispetto a $x$, non rispetto a $y$, ma ciò non sarebbe comunque fattibile, perchè la funzione integranda conterrebbe la stessa funzione incognita $y(x)$.
Il secondo modo è formalmente corretto, ma contiene un errore di calcolo (in un segno): nell'integrale iniziale la funzione
$1/(y(1-y))$
si decompone in
$1/y+1/(1-y)$ e non in $1/y-1/(1-y)$
quindi dovresti avere a che fare con un logaritmo di un prodotto, anzichè con un logaritmo di un rapporto.
Saluti.
P.S. Ho i miei dubbi sul fatto che l'estremo di integrazione inferiore possa essere pari a $0$...
Ciao Alessandro.
Grazie della risposta. Ho capito l'errore nel 1* modo.
Nel 2° modo, tuttavia, viene: $\int \frac {dy}{y (1-y)}=\int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{1-y} dy = log|y|-log|1-y|=log|\frac{y}{1-y}|$, quindi è giusto come ho scritto io...
Grazie della risposta. Ho capito l'errore nel 1* modo.
Nel 2° modo, tuttavia, viene: $\int \frac {dy}{y (1-y)}=\int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{1-y} dy = log|y|-log|1-y|=log|\frac{y}{1-y}|$, quindi è giusto come ho scritto io...
E' vero, avevo sbagliato un segno nel calcolo della primitiva di $1/(1-y)$.
Però dovrai cambiare estremo di integrazione inferiore, perchè la funzione integranda completa non è definibile in $0$.
Saluti.
Però dovrai cambiare estremo di integrazione inferiore, perchè la funzione integranda completa non è definibile in $0$.
Saluti.
Ok,ho capito.
Affermativo.
Ti conviene, in generale, integrare senza attribuire valori numerici agli estremi di integrazione e aggiungere una generica costante arbitraria $C$ alla fine del secondo membro (a conti ultimati); in questo modo avrai l'integrale generale dell'equazione differenziale.
Saluti.
Ti conviene, in generale, integrare senza attribuire valori numerici agli estremi di integrazione e aggiungere una generica costante arbitraria $C$ alla fine del secondo membro (a conti ultimati); in questo modo avrai l'integrale generale dell'equazione differenziale.
Saluti.
Quindi, ad esempio tra $t_1$ e $t_2$ generici, diventa:
$\int_(t_0)^(t_1) \frac {dy}{y (1-y)}=\int_(t_0)^(t_1) dx => log|\frac {y}{1-y}| (t_1) - log|\frac {y}{1-y}| (t_0) = t+ C$
Ma comunque alla fine ottengo qualcosa del tipo $f(t_0,t_1)=t+C$ , quindi non mi resta $y$ (che volevo calcolare tra $t_0$ e $t_1$).
$\int_(t_0)^(t_1) \frac {dy}{y (1-y)}=\int_(t_0)^(t_1) dx => log|\frac {y}{1-y}| (t_1) - log|\frac {y}{1-y}| (t_0) = t+ C$
Ma comunque alla fine ottengo qualcosa del tipo $f(t_0,t_1)=t+C$ , quindi non mi resta $y$ (che volevo calcolare tra $t_0$ e $t_1$).
Se tu aggiungi la costante $C$, non occorre specificare alcun estremo di integrazione.
Saluti.
Saluti.
Si, pardon. Ho sbagliato io. Comunque non cambia, perchè verrebbe:
$\int_(t_0)^(t_1) \frac {dy}{y (1-y)}=\int_(t_0)^(t_1) dx => log|\frac {y}{1-y}| (t_1) - log|\frac {y}{1-y}| (t_0) = t => f(t_0,t_1)=t$ e quindi non riesco ad ottenere $y(x)$.
$\int_(t_0)^(t_1) \frac {dy}{y (1-y)}=\int_(t_0)^(t_1) dx => log|\frac {y}{1-y}| (t_1) - log|\frac {y}{1-y}| (t_0) = t => f(t_0,t_1)=t$ e quindi non riesco ad ottenere $y(x)$.
No, il risultato dovrebbe essere semplicemente:
$log|y/(1-y)|=t+C Rightarrow |y/(1-y)|=e^(t+C)=k*e^t$ con $k>0$
Ammettendo che $k$ abbia anche valori negativi, potrai "sbarazzarti" del modulo:
$y/(1-y)=k*e^t$
e così via.
Saluti.
$log|y/(1-y)|=t+C Rightarrow |y/(1-y)|=e^(t+C)=k*e^t$ con $k>0$
Ammettendo che $k$ abbia anche valori negativi, potrai "sbarazzarti" del modulo:
$y/(1-y)=k*e^t$
e così via.
Saluti.
Si ma cosi facendo ho calcolato l'integrale indefinito, non definito tra due istanti temporali.
Non ha importanza; potrai trovare il valore numerico da attribuire alla costante $C$, conoscendo le condizioni iniziali relative alla funzione incognita.
In questo modo trovi l'integrale particolare della funzione, risolvendo quello che, in matematica, si chiama problema di Cauchy.
Saluti.
In questo modo trovi l'integrale particolare della funzione, risolvendo quello che, in matematica, si chiama problema di Cauchy.
Saluti.
Grazie, come sempre! 
Nessun problema.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo