Eq. diff con metodo di Lagrange..ma 2 risultati diversi..dove sbaglio?

[21zuclo]

Ciao a tutti, ho svolto un esercizio sull'eq. differenziali con metodo di Lagrange, ma non mi trovo con la soluzione, poichè la soluzione usa un'altra formula del metodo di Lagrange. Aiutatemi a capire. Grazie in anticipo

Trovare l'integrale generale $ y''(x)+y(x)=(1)/(\cos^3 x) $

ho provato così

(salto i passaggi sulle soluzioni dell'eq. omogenea associata)

che sono $ y_(om)(x)=c_1 \cos(x)+c_2 \sin (x)+y_(xx) (x) $

(ove con $ y_(xx) (x) $ indico la soluzione particolare da trovare)

quindi trovo la soluzione particolare.. prima di tutto faccio $ det W(x)=det( ( cos x , \sin x ),( -\sin x , \cos x ) )=1 $

quindi metto a sistema $ { ( c'_(1) \cosx+c'_2 \sin x=0 ),( -c'_1 \sin x+c'_2 \cos x= (1)/(\cos^3 x) ):} $

ora usando la regola di Cramer trovo $ c'_(1) =(det( ( 0 , \sin x ),( (1)/(\cos^3 x) , cos(x) ) ) )/(1)=-(\sin x)/(\cos^3 (x)) $

ora integro

$ c_(1) =-\int(\sin x)/(\cos^3 (x))=-[\int (\cos(x)\sin (x))/(\cos(x)cos^3x)dx]=( (\cos x =t), (dx=(dt)/(-\sin x)) ) = -[-\int (dt)/(t^3)] =$

$= -[(1)/(2 t^2)]=- (1)/(2 \cos^2 x)$

stessa cosa per $c_2$ (salto i passaggi) e trovo $c_2=(1)/(2 \cos^2 (x))$

Quindi concludo che l'integrale particolare è

$ y_(xx) (x)=-(1)/(2 \cos^2x)\cos x+(1)/(2 (cos^2x))\sin x=-(1)/(2 cos x)+(\sin x)/(2\cos^2 x) $

Il risultato della soluzione è invece (trova l'integrale particolare con una formula strana di Lagrange che non ho ben capito)
$ psi (x)=\int_(0)^(x) (det | ( cos t , \sin t ),( cos x , sin x ) | )/(det W(x))(1)/(cos^3x)dt $


e quindi trova
$ psi (x)=\sin x\int_(0)^(x)(1)/(cos^2t)dt-\cos(x)\int_(0)^(x)(\sin t)/(\cos^3t)dt= $

$=\sin(x)tan(x)-1/2 \cos(x)((1)/(cos^2 x)-1)$

Ma dove sbaglio? Perchè vengono 2 risultati diversi?..dovrebbero venire uguali..no?

[21zuclo]

cacchio che pirla che sono..e pensare che l'ho rifatto 3 volte l'esercizio e per 3 volte lo stesso errore!

ma una domanda

tu hai utilizzato la stessa mia formula..

e invece che procedimento è quello della soluzione?

$ \int_(0)^(x)(det( ( cos t , \sin t ),( cos x , sin x ) ) )/(det W(t))(1)/(\cos^3 x)dt $

[21zuclo]

Ok per la formula

Solo un'ultima domanda che non riesco a trovarmi.. come hai fatto a trovare $-(cos (2x))/(2 cosx) $

io ottengo $-(1)/(2cos x)+(sin^2x)/(cosx)=1/2 ((-1+sin^2x)/(cos (x))) $

Ma dalla trigonometria è $ cos (2x)=1-2sin^2x$

Ok per i segni..ma manca un 2 vicino al seno..

Non riesco a far venire fuori a numeratore $ cos (2x) $

[21zuclo]

Madò ma dove cavolo ho la testa?..uff sono già agitato per metà giugno..

Scusa comunque