Eq. diff. alle derivate parziali (+tool di Matlab)
Buongiorno a tutti!
Oggi volevo parlare di equazioni differenziali a derivate parziali, risolte con il PDE tool di matlab.
Sto riscontrando un po' di problemi ad utilizzarlo, vi spiego immaginando un problema:
u=u(x,t) con 00
$(delu(x,t))/(delt)$ $-$ $D(del^2u(x,t))/(delx^2)$ $=$ $0$ con $D$ costante
con le seguenti condizioni
1)$u(x,0)=g(x)$
2)$(delu(0,t))/(delx)$$=$$0$
3)$(delu(L,t))/(delx)$$=$$-\gamma$$*$$(u(L,t)-U)$ con $U$ costante
Ora, siccome la terza condizione non è omogenea, faccio un opportuno cambio di variabili:
Pongo $z(x,t)=u(x,t)-U$
Il problema da risolvere diventa quindi
$(delz(x,t))/(delt)$ $-$ $D(del^2z(x,t))/(delx^2)$ $=$ $0$
con le seguenti condizioni
1)$z(x,0)=g(x)-U$
2)$(delz(0,t))/(delx)$$=$$0$
3)$(delz(L,t))/(delx)$$=$$-\gamma$$*$$z(L,t)$ con $\gamma$$>$$0$
La risoluzione analitica (per semplicità ho imposto $D=1$) porta ad una famiglia di funzioni di questo tipo:
$z_k(x,t)$$=$$C_k$$cos(k*pi*x/L)$$exp(-k^2*pi^2*t/L^2)$
Da cui $z(x,t)$$=$$\sum_{k=0}^\infty$$C_k$$cos(k*pi*x/L)$$exp(-k^2*pi^2*t/L^2)$
Che rispetta per come è stata costruita le condizioni 2 e 3.
Imponendo anche la condizione 1 sono in grado di determinare la costante $C_k$
Per chi fosse curioso, se me lo chiedete posso postare anche le fasi della risoluzione...
Detto questo, voglio verificare la soluzione su MATLAB (apro matlab e digito comando "pdetool")
La parte in cui si definisce il dominio è di facile comprensione, e fin qui nessun problema.
I problemi iniziano quando bisogna definire l'equazione da risolvere: clicco su PDE e mi si apre una finestra in cui devo selezionare il tipo di equazione. Selezionando l'ellittica per esempio, aggiustando i coefficienti sarei in grado di risolvere un'equazione di Laplace del tipo (per esempio) $\Delta$$u=0$
Ma qui la mia equazione ha una derivata prima nel tempo, ed una derivata seconda su x, come faccio quindi ad implementarla nel PDE tool di matlab?
Grazie a tutti per l'attenzione, una volta risolto questo problemino esporrò l'altro problema che riscontro nell'imporre le condizioni al contorno!
Oggi volevo parlare di equazioni differenziali a derivate parziali, risolte con il PDE tool di matlab.
Sto riscontrando un po' di problemi ad utilizzarlo, vi spiego immaginando un problema:
u=u(x,t) con 0
$(delu(x,t))/(delt)$ $-$ $D(del^2u(x,t))/(delx^2)$ $=$ $0$ con $D$ costante
con le seguenti condizioni
1)$u(x,0)=g(x)$
2)$(delu(0,t))/(delx)$$=$$0$
3)$(delu(L,t))/(delx)$$=$$-\gamma$$*$$(u(L,t)-U)$ con $U$ costante
Ora, siccome la terza condizione non è omogenea, faccio un opportuno cambio di variabili:
Pongo $z(x,t)=u(x,t)-U$
Il problema da risolvere diventa quindi
$(delz(x,t))/(delt)$ $-$ $D(del^2z(x,t))/(delx^2)$ $=$ $0$
con le seguenti condizioni
1)$z(x,0)=g(x)-U$
2)$(delz(0,t))/(delx)$$=$$0$
3)$(delz(L,t))/(delx)$$=$$-\gamma$$*$$z(L,t)$ con $\gamma$$>$$0$
La risoluzione analitica (per semplicità ho imposto $D=1$) porta ad una famiglia di funzioni di questo tipo:
$z_k(x,t)$$=$$C_k$$cos(k*pi*x/L)$$exp(-k^2*pi^2*t/L^2)$
Da cui $z(x,t)$$=$$\sum_{k=0}^\infty$$C_k$$cos(k*pi*x/L)$$exp(-k^2*pi^2*t/L^2)$
Che rispetta per come è stata costruita le condizioni 2 e 3.
Imponendo anche la condizione 1 sono in grado di determinare la costante $C_k$
Per chi fosse curioso, se me lo chiedete posso postare anche le fasi della risoluzione...
Detto questo, voglio verificare la soluzione su MATLAB (apro matlab e digito comando "pdetool")
La parte in cui si definisce il dominio è di facile comprensione, e fin qui nessun problema.
I problemi iniziano quando bisogna definire l'equazione da risolvere: clicco su PDE e mi si apre una finestra in cui devo selezionare il tipo di equazione. Selezionando l'ellittica per esempio, aggiustando i coefficienti sarei in grado di risolvere un'equazione di Laplace del tipo (per esempio) $\Delta$$u=0$
Ma qui la mia equazione ha una derivata prima nel tempo, ed una derivata seconda su x, come faccio quindi ad implementarla nel PDE tool di matlab?
Grazie a tutti per l'attenzione, una volta risolto questo problemino esporrò l'altro problema che riscontro nell'imporre le condizioni al contorno!
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