Enunciato e dimostrazione del criterio di monotonia
E' questo uno dei quesiti a cui non ho saputo rispondere all'esame di AM qualche mese fà.
Qualcuno potrebbe illustrarmi cosa rispondere a questa domanda, ...o magari un link di riferimento.
Il libro non c'è l'ho più!
Qualcuno potrebbe illustrarmi cosa rispondere a questa domanda, ...o magari un link di riferimento.
Il libro non c'è l'ho più!
Risposte
ma neanche l'enunciato sai??
che diamine è il criterio di monotonia?
che diamine è il criterio di monotonia?
"ubermensch":
ma neanche l'enunciato sai??
che diamine è il criterio di monotonia?
Mi dispiace ma sto imparando tutto in pochi giorni.
Mi sono iscritto a questo forum con la speranza di capire quello che non sono riuscito ad apprendere al liceo e ora all'uni...
Ho sbagliato forum?
non hai sbagliato forum...
è che bisognerebbe specificare quello che si chiede...
comunque immagino che il criterio cui ti riferisci è il seguente:
Una funzione $f$ continua e derivabile in $[a,b]$ è ivi crescente (risp.decrescente) se $f'>0$ (risp. $f'<0$)
La dim è ovvia e la potresti anche ricavare da solo. Te ne do un cenno nal caso in cui $f'>0$; da cui si ha che per $h$ vicini a $0$ $f(x+h)>f(x)$ se $h>0$ e $f(x+h)
è che bisognerebbe specificare quello che si chiede...
comunque immagino che il criterio cui ti riferisci è il seguente:
Una funzione $f$ continua e derivabile in $[a,b]$ è ivi crescente (risp.decrescente) se $f'>0$ (risp. $f'<0$)
La dim è ovvia e la potresti anche ricavare da solo. Te ne do un cenno nal caso in cui $f'>0$; da cui si ha che per $h$ vicini a $0$ $f(x+h)>f(x)$ se $h>0$ e $f(x+h)
dobbiamo dimostrare che per ogni x1, x2 app. ad [a, b] tali che x2>x1 si ha f(x2)>f(x1).
data la derivabilità di f in [x1, x2], applichiamo il teorema di lagrange a tale intervallo:
esiste un punto c app. a [x1, x2] tale che
f'(c)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)>0 per ipotesi di positività della derivata in [a, b];
essendo per hp x2-x1>0, abbiamo f(x2)-f(x1)>0, cioè la tesi.
data la derivabilità di f in [x1, x2], applichiamo il teorema di lagrange a tale intervallo:
esiste un punto c app. a [x1, x2] tale che
f'(c)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)>0 per ipotesi di positività della derivata in [a, b];
essendo per hp x2-x1>0, abbiamo f(x2)-f(x1)>0, cioè la tesi.
una ossevazione.
La dim di mysterium è sostanzialmente quella standard.
Quella data da ubermensch, contrariamente alle apparenze, non funge. Si tratta di un inghippo "canonico" per chi insegna analisi, ma che rischia di sfuggire ad un lettore distratto. Essa permette sì di dire che:
"per $h$ vicini a $0$ $f(x+h)>f(x)$ se $h>0$ e $f(x+h)
Ma da ciò segue (mi limito ad $h>0$, l'altro caso è analogo) che $f(x)$ è minore di $f(x+h)$ per ogni $h$ "abbastanza piccolo". Da qui a garantire che ci sia un (piccolo) intervallo a destra di $x$ sul quale $f$ cresce c'è ancora della strada da fare. Io non ci so arrivare (se non usando Lagrange, come fa mysterium). Non credo sia facile. Se qualcuno conoscesse una strada mi farebbe piacere vederla.
ciao
La dim di mysterium è sostanzialmente quella standard.
Quella data da ubermensch, contrariamente alle apparenze, non funge. Si tratta di un inghippo "canonico" per chi insegna analisi, ma che rischia di sfuggire ad un lettore distratto. Essa permette sì di dire che:
"per $h$ vicini a $0$ $f(x+h)>f(x)$ se $h>0$ e $f(x+h)
Ma da ciò segue (mi limito ad $h>0$, l'altro caso è analogo) che $f(x)$ è minore di $f(x+h)$ per ogni $h$ "abbastanza piccolo". Da qui a garantire che ci sia un (piccolo) intervallo a destra di $x$ sul quale $f$ cresce c'è ancora della strada da fare. Io non ci so arrivare (se non usando Lagrange, come fa mysterium). Non credo sia facile. Se qualcuno conoscesse una strada mi farebbe piacere vederla.
ciao
Provo a esplicitare il ragionamento di uber:
Vogliamo dimostrare che $x
Vogliamo dimostrare che $x
@irenze
sorry, non funge.
Per semplificare, prendiamo un intorno destro "piccolo" di x, diciamo $]x, x+ \delta[$
Bisogna provare che, presi due elementi $x_1, x_2$ in tale intorno, con $x_1 < x_2$, si ha $f(x_1) < f(x_2)$
Non basta confrontare il valore di $f$ solo con quello che assume in $x$, se si vuole arrivare a dimostrare che la $f$ è crescente in un intervallo
sorry, non funge.
Per semplificare, prendiamo un intorno destro "piccolo" di x, diciamo $]x, x+ \delta[$
Bisogna provare che, presi due elementi $x_1, x_2$ in tale intorno, con $x_1 < x_2$, si ha $f(x_1) < f(x_2)$
Non basta confrontare il valore di $f$ solo con quello che assume in $x$, se si vuole arrivare a dimostrare che la $f$ è crescente in un intervallo
Scusa, stavo modificando.
Comunque sì, basta confrontare con il valore in $x$ perché prendi $x=x_1$ (la $x$ è una variabile!!!)
@irenza
non basta
Che la $x$ sia una variabile nessuno lo nega, ovviamente si può benissimo prendere $x_1 = x$.
La difficoltà sta nel fatto che, presi $x_1$ e $x_2$, dalla sola def di limite (e teorema di permanenza del segno) non si riesce a garantire che si possa prendere $h$ in modo che $x_2 = x_1 + h$
ciao
non basta
Che la $x$ sia una variabile nessuno lo nega, ovviamente si può benissimo prendere $x_1 = x$.
La difficoltà sta nel fatto che, presi $x_1$ e $x_2$, dalla sola def di limite (e teorema di permanenza del segno) non si riesce a garantire che si possa prendere $h$ in modo che $x_2 = x_1 + h$
ciao
Stavo dicendo appunto questo.
Basta che sia vero LOCALMENTE (cioè quando $x_2$ si trova in un intorno - ad esempio - destro di $x_1$).
Ricopriamo $[a,b]$ con tutti gli insiemi della forma $]x - \delta(x), x + \delta(x)[$ al variare di $x$ in $[a,b]$ (con $\delta(x)$ tale che valga la proprietà di cui sopra). Su ognuno degli intervalli la $f$ è crescente, dunque essa è crescente ovunque (perché è crescente sulle intersezioni e dunque anche sull'unione).
Volendo in questo caso si può anche arrivare da $x_1$ a $x_2$ con un numero finito di intervalli (siamo in un compatto)...
Basta che sia vero LOCALMENTE (cioè quando $x_2$ si trova in un intorno - ad esempio - destro di $x_1$).
Ricopriamo $[a,b]$ con tutti gli insiemi della forma $]x - \delta(x), x + \delta(x)[$ al variare di $x$ in $[a,b]$ (con $\delta(x)$ tale che valga la proprietà di cui sopra). Su ognuno degli intervalli la $f$ è crescente, dunque essa è crescente ovunque (perché è crescente sulle intersezioni e dunque anche sull'unione).
Volendo in questo caso si può anche arrivare da $x_1$ a $x_2$ con un numero finito di intervalli (siamo in un compatto)...
@irenze
mettiamoci d'accordo.
Mi sembra intanto che le ipotesi siano queste. Abbiamo un intervallo $I$, ed $f:I \rightarrow R$, derivabile su tutto $I$ e con derivata prima strettamente positiva su tutto $I$.
Prendiamo due punti $x_1, x_2 \in I$, con $x_1 < x_2$.
Come faccio a dimostrare che $f(x_1) < f(x_2)$?
Se capisco il tuo ragionamento, dato $x_1$ dici che ci sarà un punto $x_1 + h_1$ con $h_1 > 0$, tale per cui $f(x_1 + h_1) > f(x_1)$.
E poi riparti da $x_1 + h_1$ con lo stesso ragionamento. Il guaio è che $h_n$ può benissimo dipendere da $x_n$ e non vedo come tu possa garantire che la serie degli $h_n$ non possa avere una somma minore di $x_2 - x_1$
La compattezza dell'intervallo $[x_1,x_2]$ non mi pare che serva a nulla.
ciao
mettiamoci d'accordo.
Mi sembra intanto che le ipotesi siano queste. Abbiamo un intervallo $I$, ed $f:I \rightarrow R$, derivabile su tutto $I$ e con derivata prima strettamente positiva su tutto $I$.
Prendiamo due punti $x_1, x_2 \in I$, con $x_1 < x_2$.
Come faccio a dimostrare che $f(x_1) < f(x_2)$?
Se capisco il tuo ragionamento, dato $x_1$ dici che ci sarà un punto $x_1 + h_1$ con $h_1 > 0$, tale per cui $f(x_1 + h_1) > f(x_1)$.
E poi riparti da $x_1 + h_1$ con lo stesso ragionamento. Il guaio è che $h_n$ può benissimo dipendere da $x_n$ e non vedo come tu possa garantire che la serie degli $h_n$ non possa avere una somma minore di $x_2 - x_1$
La compattezza dell'intervallo $[x_1,x_2]$ non mi pare che serva a nulla.
ciao
(La somma dei $\delta(x)$ al variare di $x$ in $[a,b]$ è almeno $b-a$, per l'ipotesi che quello sia un ricoprimento; nel caso di $I$ infinito avresti ragione, salvo il fatto che uno non deve ricoprire per forza tutto $I$, basta $[x_1,x_2]$).
Spiego quello che stavo dicendo per la compattezza:
Consideriamo un sottoricoprimento finito di $\{]x - \delta(x),x + \delta(x)[\}_{x \in [a,b]}$. Sia esso $\{]x_i - \delta(x_i),x_i + \delta(x_i)[\}_{i=1,...,m}$ (a meno di riordinare possiamo supporre $a\le x_1 x_j$) bisogna osservare che $f(x)
Spiego quello che stavo dicendo per la compattezza:
Consideriamo un sottoricoprimento finito di $\{]x - \delta(x),x + \delta(x)[\}_{x \in [a,b]}$. Sia esso $\{]x_i - \delta(x_i),x_i + \delta(x_i)[\}_{i=1,...,m}$ (a meno di riordinare possiamo supporre $a\le x_1
Osservo che ho implicitamente usato il fatto che un intervallo è connesso (le intersezioni degli aperti che ricoprono $[a,b]$ sono non vuote e si può arrivare da $x$ a $y$ con un cammino che passa per gli $x_j$).
Del resto in uno sconnesso la locale monotonia non implica la globale monotonia!!!
Del resto in uno sconnesso la locale monotonia non implica la globale monotonia!!!
"irenze":
(La somma dei $\delta(x)$ al variare di $x$ in $[a,b]$ è almeno $b-a$, per l'ipotesi che quello sia un ricoprimento; nel caso di $I$ infinito avresti ragione, salvo il fatto che uno non deve ricoprire per forza tutto $I$, basta $[x_1,x_2]$).
è questo il punto.
Non vedo come tu possa dimostrare questo assunto. No problem a lavorare su $[a,b]$.
Ma il problema è che non hai nessuna garanzoia di avere un ricoprimento
Ma stiamo scherzando?!?
Scusa, se prendo TUTTI gli $x$, per ognuno di essi è $\delta(x)>0$ strettamente (l'inf può anche fare $0$, non me ne importa...), dunque $x \in ]x - \delta(x),x + \delta(x)[$, da cui ho un ricoprimento aperto di $[a,b]$.
Scusa, se prendo TUTTI gli $x$, per ognuno di essi è $\delta(x)>0$ strettamente (l'inf può anche fare $0$, non me ne importa...), dunque $x \in ]x - \delta(x),x + \delta(x)[$, da cui ho un ricoprimento aperto di $[a,b]$.
@irenze
io leggo attentamente i post degli altri e ti invito a fare altrettanto, anche se mi pare che non sia una tua abitudine (vedi il thread su: "Dimostrazione", in questo stesso forum).
E' ovvio che se per ogni $x$ in $[a,b]$ prendi un intorno aperto di $x$ ottieni un ricoprimento aperto di $[a,b]$.
Ma, credimi, qui non stiamo parlando dell'ABC della compattezza... Ci sono dettagli che ti sfuggono. Se non hai la pazienza o l'interesse ad esaminarli, no problem.
io leggo attentamente i post degli altri e ti invito a fare altrettanto, anche se mi pare che non sia una tua abitudine (vedi il thread su: "Dimostrazione", in questo stesso forum).
E' ovvio che se per ogni $x$ in $[a,b]$ prendi un intorno aperto di $x$ ottieni un ricoprimento aperto di $[a,b]$.
Ma, credimi, qui non stiamo parlando dell'ABC della compattezza... Ci sono dettagli che ti sfuggono. Se non hai la pazienza o l'interesse ad esaminarli, no problem.
Non capisco cosa non dovrebbe funzionare...
L'ipotesi che ho mi dà subito che per ogni $x$ esiste un intorno (aperto) in cui $f$ è crescente (crescenza locale). Prendo l'insieme di tali intorni. Esso è un ricoprimento aperto. Estraggo un sottoricoprimento finito. Sfrutto la connessione per creare un cammino da $x_1$ a $x_2$ lungo il quale ho tutte disuguaglianze nel verso "giusto". $f(x_1)
L'ipotesi che ho mi dà subito che per ogni $x$ esiste un intorno (aperto) in cui $f$ è crescente (crescenza locale). Prendo l'insieme di tali intorni. Esso è un ricoprimento aperto. Estraggo un sottoricoprimento finito. Sfrutto la connessione per creare un cammino da $x_1$ a $x_2$ lungo il quale ho tutte disuguaglianze nel verso "giusto". $f(x_1)
"irenze":
L'ipotesi che ho mi dà subito che per ogni $x$ esiste un intorno (aperto) in cui $f$ è crescente (crescenza locale).
E' questo che non è provato. Ed è stato il punto di partenza del mio intervento in questo topic.
una funzione f(x) si dice crescente in un PUNTO (non intervallo!) x0 se esiste un intorno I di x0 tale ke per ogni x app. ad I:
x f(x)
voglio dimostrare che una funzione avente derivata positiva in un punto è ivi localmente crescente
dim. f'(x0)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0),
x-->x0
per il th della permanenza del segno esiste un intorno I di x0 per ogni x del quale la funzione rapporto incrementale assume lo stesso segno del suo limite, positivo per ipotesi. Dunque, per ogni x app. ad I,
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)>0, dunque:
per x
le dimostrazioni ke avete fatto finora mi hanno dato questo input, anke se "fondere" tutti gli intorni, come dice il prof. Patrone, in un intervallo mi sembra impossibile, dato ke gli intorni sono arbitrariamente piccoli, mentre per unirsi in un intervallo servirebbero arbitrariamente grandi.
è il concetto intuitivo di "retta tangente inclinata in alto => funzione crescente nei 'dintorni' "
analogo per la decrescenza con derivata negativa, qualcke modifica per l'estremante relativo con derivata nulla.
P.S. prof patrone, ho beccato il tuo sito all'uni di genova!!! 6 1 grande!!!
x
voglio dimostrare che una funzione avente derivata positiva in un punto è ivi localmente crescente
dim. f'(x0)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0),
x-->x0
per il th della permanenza del segno esiste un intorno I di x0 per ogni x del quale la funzione rapporto incrementale assume lo stesso segno del suo limite, positivo per ipotesi. Dunque, per ogni x app. ad I,
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)>0, dunque:
per x
le dimostrazioni ke avete fatto finora mi hanno dato questo input, anke se "fondere" tutti gli intorni, come dice il prof. Patrone, in un intervallo mi sembra impossibile, dato ke gli intorni sono arbitrariamente piccoli, mentre per unirsi in un intervallo servirebbero arbitrariamente grandi.
è il concetto intuitivo di "retta tangente inclinata in alto => funzione crescente nei 'dintorni' "
analogo per la decrescenza con derivata negativa, qualcke modifica per l'estremante relativo con derivata nulla.
P.S. prof patrone, ho beccato il tuo sito all'uni di genova!!! 6 1 grande!!!
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