Enunciato e dimostrazione del criterio di monotonia
E' questo uno dei quesiti a cui non ho saputo rispondere all'esame di AM qualche mese fà.
Qualcuno potrebbe illustrarmi cosa rispondere a questa domanda, ...o magari un link di riferimento.
Il libro non c'è l'ho più!
Qualcuno potrebbe illustrarmi cosa rispondere a questa domanda, ...o magari un link di riferimento.
Il libro non c'è l'ho più!
Risposte
sono completamente d'accordo su quello che scrivi riguardo la monotonia. Ivi compresa la difficoltà di "fondere" gli intervalli assieme, che è proprio quello che mi aveva spinto ad intervenire.
La def di funzione crescente "in un punto" (che non confonderei con la nozione di crescenza locale) me la ricordo dalle lezioni di Cecconi (e c'è sul Cecconi-Stampacchia). A parte l'ossimoro, trovo che sia una definizione fuorviante, con forti rischi di indurre in errore.
ciao
La def di funzione crescente "in un punto" (che non confonderei con la nozione di crescenza locale) me la ricordo dalle lezioni di Cecconi (e c'è sul Cecconi-Stampacchia). A parte l'ossimoro, trovo che sia una definizione fuorviante, con forti rischi di indurre in errore.
ciao
Ho finalmente capito dove s'inceppa il ragionamento... non è sul fondere gli intervalli ma sul fatto che $\delta$ non dovrebbe dipendere da $x$...
Ok, ci penserò.
Ok, ci penserò.
Trovato, credo.
Siano $x_1$ e $x_2$ in $]x - \delta(x),x + \delta(x)[$.
Se $x_1 < x < x_2$ oppure $x_1 + \delta(x_1) > x_2 - \delta(x_2)$ non c'è niente da dimostrare.
Altrimenti supponiamo per assurdo che sia $f(x_2) \le f(x_1)$. Sia $h < min(\delta(x_1),\delta(x_2))$. Allora si ha $f(x_1+h) > f(x_1) \ge f(x_2) > f(x_2-h)$. Per il teorema dei valori intermedi esiste almeno un punto tra $x_1+h$ e $x_2-h$ in cui $f$ valga $f(x_1)$. Tali punti non si possono accumulare (in un intorno di ogni $x$ si ha $f != f(x)$), e sono quindi in numero finito. Sia $x_0 (\ge x_1+\delta(x_1))$ il minimo di tali punti, si ha $f(x_0-h) f(x_0-h_0) = f(x_1+h_1) >f(x_1)$), altrimenti applicando un'altra volta il teorema dei valori intermedi otteniamo l'esistenza di un altro punto in $[x_1+\delta(x_1),x_0[$ in cui sia $f=f(x_1)$, contro la minimalità di $x_0$.
Siano $x_1$ e $x_2$ in $]x - \delta(x),x + \delta(x)[$.
Se $x_1 < x < x_2$ oppure $x_1 + \delta(x_1) > x_2 - \delta(x_2)$ non c'è niente da dimostrare.
Altrimenti supponiamo per assurdo che sia $f(x_2) \le f(x_1)$. Sia $h < min(\delta(x_1),\delta(x_2))$. Allora si ha $f(x_1+h) > f(x_1) \ge f(x_2) > f(x_2-h)$. Per il teorema dei valori intermedi esiste almeno un punto tra $x_1+h$ e $x_2-h$ in cui $f$ valga $f(x_1)$. Tali punti non si possono accumulare (in un intorno di ogni $x$ si ha $f != f(x)$), e sono quindi in numero finito. Sia $x_0 (\ge x_1+\delta(x_1))$ il minimo di tali punti, si ha $f(x_0-h)
@irenze
mi sembra che funga, anche se vorrei ancora fare qualche verifica. L'idea secondo me è comunque ottima e probabilmente si riesce a semplificare un poco la dimostrazione. Non avevo mai visto, né pensato a, una strada di questo tipo.
considerazioni "generali"
1. E' certo più complicata della strada standard che usa Lagrange. Si potrebbe vedere se non si potesse sfruttare questa idea per una dim alternativa di Lagrange (rispetto a quella "canonica", via Rolle + Weierstrass)
2. Tu usi il teorema dei valori intermedi, ovvero un risultato "potente" dell'analisi matematica. Uno di quesi teoremi per la cui dim è necessaria la struttura di $\mathbb{R}$
3. E' impossibile dimostrare il teorema senza usare in modo essenziale le proprietà dei numeri reali. La funzione (da $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{Q}$!!!) definita come $f(x) = - \frac{1}{x^2 - 2}$. Questa funzione sull'intervallo (di $\mathbb{Q}$) $]0,+\infty[$ è derivabile dappertutto, con derivata prima strettamente positiva ma non è strettamente crescente su questo intervallo
nota: l'uso del termine "intervallo" per $\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty[$ potrebbe essere considerato inappropriato, visto che non è certo topologicamente connesso, Fate voi...
mi sembra che funga, anche se vorrei ancora fare qualche verifica. L'idea secondo me è comunque ottima e probabilmente si riesce a semplificare un poco la dimostrazione. Non avevo mai visto, né pensato a, una strada di questo tipo.
considerazioni "generali"
1. E' certo più complicata della strada standard che usa Lagrange. Si potrebbe vedere se non si potesse sfruttare questa idea per una dim alternativa di Lagrange (rispetto a quella "canonica", via Rolle + Weierstrass)
2. Tu usi il teorema dei valori intermedi, ovvero un risultato "potente" dell'analisi matematica. Uno di quesi teoremi per la cui dim è necessaria la struttura di $\mathbb{R}$
3. E' impossibile dimostrare il teorema senza usare in modo essenziale le proprietà dei numeri reali. La funzione (da $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{Q}$!!!) definita come $f(x) = - \frac{1}{x^2 - 2}$. Questa funzione sull'intervallo (di $\mathbb{Q}$) $]0,+\infty[$ è derivabile dappertutto, con derivata prima strettamente positiva ma non è strettamente crescente su questo intervallo
nota: l'uso del termine "intervallo" per $\mathbb{Q} \cap ]0,+\infty[$ potrebbe essere considerato inappropriato, visto che non è certo topologicamente connesso, Fate voi...
"ubermensch":
E' questo uno dei quesiti a cui non ho saputo rispondere all'esame di AM qualche mese fà.
Qualcuno potrebbe illustrarmi cosa rispondere a questa domanda, ...o magari un link di riferimento.
Il libro non c'è l'ho più!
Scusate se mi intrometto nei vostri ragionamenti, ma io ho bisogno semplicemente della risposta al quesito posto nel primo post di questo topic.
Potreste fornirmi quello giusto e a parole e numeri da me comprensibili?
Grazie.
Teorema 1a
Sia $I$ un intervallo e sia $f:I->RR$ derivabile in ogni punto di $I$, con $f'(x)>0$ per ogni $x \in I$. Allora la funzione $f$ (volgarmente detta anche $f(x)$) è strettamente crescente su $I$
Teorema 1b
Sia $I$ un intervallo e sia $f:I->RR$ derivabile in ogni punto di $I$, con $f'(x)<0$ per ogni $x \in I$. Allora la funzione $f$ è strettamente decrescente su $I$
Teorema 2a
Sia $f:[a,b]->RR$, continua in ogni punto di $[a,b]$ e derivabile in ogni punto di $]a,b[$, con $f'(x)>0$ per ogni $x \in ]a,b[$. Allora la funzione $f$ è strettamente crescente su $[a,b]$
Teorema 2b
non mi pare il caso di scriverlo...
Tutti questi teoremi si dimostrano facilmente utilizzando il teorema di Lagrange (vedi il post di mysterium).
Sia $I$ un intervallo e sia $f:I->RR$ derivabile in ogni punto di $I$, con $f'(x)>0$ per ogni $x \in I$. Allora la funzione $f$ (volgarmente detta anche $f(x)$) è strettamente crescente su $I$
Teorema 1b
Sia $I$ un intervallo e sia $f:I->RR$ derivabile in ogni punto di $I$, con $f'(x)<0$ per ogni $x \in I$. Allora la funzione $f$ è strettamente decrescente su $I$
Teorema 2a
Sia $f:[a,b]->RR$, continua in ogni punto di $[a,b]$ e derivabile in ogni punto di $]a,b[$, con $f'(x)>0$ per ogni $x \in ]a,b[$. Allora la funzione $f$ è strettamente crescente su $[a,b]$
Teorema 2b
non mi pare il caso di scriverlo...
Tutti questi teoremi si dimostrano facilmente utilizzando il teorema di Lagrange (vedi il post di mysterium).
"Fioravante Patrone":
Teorema 1a
Sia $I$ un intervallo e sia $f:I->RR$ derivabile in ogni punto di $I$, con $f'(x)>0$ per ogni $x \in I$. Allora la funzione $f$ (volgarmente detta anche $f(x)$) è strettamente crescente su $I$
Teorema 1b
Sia $I$ un intervallo e sia $f:I->RR$ derivabile in ogni punto di $I$, con $f'(x)<0$ per ogni $x \in I$. Allora la funzione $f$ è strettamente decrescente su $I$
Teorema 2a
Sia $f:[a,b]->RR$, continua in ogni punto di $[a,b]$ e derivabile in ogni punto di $]a,b[$, con $f'(x)>0$ per ogni $x \in ]a,b[$. Allora la funzione $f$ è strettamente crescente su $[a,b]$
Teorema 2b
non mi pare il caso di scriverlo...
Tutti questi teoremi si dimostrano facilmente utilizzando il teorema di Lagrange (vedi il post di mysterium).
Grazie per il tuo aiuto!
Forse non sai che con me era necessario scrivere anche il Teorema 2b!!
Vediamo se ho capito:
Teorema 2b
Sia $f:[a,b]->RR$, continua in ogni punto di $[a,b]$ e derivabile in ogni punto di $]a,b[$, con $f'(x)<0$ per ogni $x \in ]a,b[$. Allora la funzione $f$ è strettamente decrescente su $[a,b]$
Giusto?
giusto!
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