Ennesima serie
Pensavo di aver capito, ma a quanto pare mi sbagliavo...
La cosa tragica è che questo "tipo" di esercizi riesco a risolverli... pensavo di aver trovato una cosa sensata e corretta sotto il profilo del ragionamento, ma molto probabilmente avevo trovato solo un metodo "meccanico"
L'esercizio è il seguente:
Sia a>0 la serie:
$ sum_(n=2)^infty ( n(e^(1/n^(5a))) - cos (1/n^(2a))) / (log (3(n logn)^n - n^(nlogn)) )$
Il mio intento è ricondurre tutto ad una serie armonica
$ 1/(n^a(log n)^b)$
Quindi applicando taylor al numeratore e al denominatore ricordando che $ a^b = e^(b log a) $ :
$ sum_(n=2)^infty ( n(1 + 1/(n^(5a)) - (1 - 1/(2n^(4a))) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( n(1/(n^(5a)) + 1/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( (n/(n^(5a)) + n/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
A questo punto prendo in considerazione soltanto la serie minorante :
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (log ( + e^(n (log n)^2) ) )$
che:
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) * 1/(n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty 1/(n^(5a) (log n)^2 )$
che converge per $a > 1/5$ cosa che purtroppo non è vera... almeno il risultato che ho io viene che $a >= 1/4$
Uffa... mi sono rovinato la mattinata con questa storia...
La cosa tragica è che questo "tipo" di esercizi riesco a risolverli... pensavo di aver trovato una cosa sensata e corretta sotto il profilo del ragionamento, ma molto probabilmente avevo trovato solo un metodo "meccanico"
L'esercizio è il seguente:
Sia a>0 la serie:
$ sum_(n=2)^infty ( n(e^(1/n^(5a))) - cos (1/n^(2a))) / (log (3(n logn)^n - n^(nlogn)) )$
Il mio intento è ricondurre tutto ad una serie armonica
$ 1/(n^a(log n)^b)$
Quindi applicando taylor al numeratore e al denominatore ricordando che $ a^b = e^(b log a) $ :
$ sum_(n=2)^infty ( n(1 + 1/(n^(5a)) - (1 - 1/(2n^(4a))) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( n(1/(n^(5a)) + 1/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( (n/(n^(5a)) + n/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
A questo punto prendo in considerazione soltanto la serie minorante :
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (log ( + e^(n (log n)^2) ) )$
che:
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) * 1/(n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty 1/(n^(5a) (log n)^2 )$
che converge per $a > 1/5$ cosa che purtroppo non è vera... almeno il risultato che ho io viene che $a >= 1/4$
Uffa... mi sono rovinato la mattinata con questa storia...
Risposte
beh analisi 1 la abbiamo fatta con molte dimostrazioni, mentre devo dire che di analisi 2 non ne abbiamo fatte così tante, anche se abbiamo fatto molto, soprattutto la teoria della misura che è appunto il suo campo di ricerca. Non ti immagini quanti integrali vedevo prima dell'esame... 
ah, quindi è un misurista...
non mi dire, perchè non ci credo,che ti ha spiegato (appunto nell'ambito della teoria della misura) il teorema di Radon-Nikodyn o il teorema di derivazione di Lebesgue perchè se cosi' fosse lo faccio ricoverare!!!!
non mi dire, perchè non ci credo,che ti ha spiegato (appunto nell'ambito della teoria della misura) il teorema di Radon-Nikodyn o il teorema di derivazione di Lebesgue perchè se cosi' fosse lo faccio ricoverare!!!!
No ci ha risparmiato alla fine Lebesgue e tutto il resto... Però siamo arrivati fino al teorema di Gauss.
Un appunto: se non me le guardavo da solo il tutto lo avrei dovuto fare senza la conoscenza di vettori e di matrici, infatti algebra non l'abbiamo ancora fatta...
Un appunto: se non me le guardavo da solo il tutto lo avrei dovuto fare senza la conoscenza di vettori e di matrici, infatti algebra non l'abbiamo ancora fatta...
comunque ti faccio i complimenti, perchè prendere 27 in un esame cosi' è veramente notevole
Grazie... Sono lusingato... Cercherò di dimostrare che me lo meritavo, prometto... 
Sono lusingato... Cercherò di dimostrare che me lo meritavo, prometto...
mmm... mi farò prestare il Buttazzo da qualcuno... in ogni caso non capisco cosa c'entri quanto riportato dal libro con la legittimità di usare il resto di Taylor con le serie, e quindi con con le derivate "all'infinito"... boh?? sarà l'ora tarda....
Il fatto che R_bar sia un punto di accumulazione non vuol dire che la funzione è derivabile su R_bar... del resto mi pare serva quantomeno il concetto di distanza di R_bar da un punto di R, che fatico a definire...
Io rimango dell'opinione che il comportamento della funzione sui naturali si deduce da quello sui reali che a sua volta si deduce dalla derivata su R, che sappiamo fare... magari domani cambio idea, però...
@Cavallipurosangue: cmq probabilmente hai più prof normalisti tu di me
Edit: cambiato un "razionali" in "reali"
Il fatto che R_bar sia un punto di accumulazione non vuol dire che la funzione è derivabile su R_bar... del resto mi pare serva quantomeno il concetto di distanza di R_bar da un punto di R, che fatico a definire...
Io rimango dell'opinione che il comportamento della funzione sui naturali si deduce da quello sui reali che a sua volta si deduce dalla derivata su R, che sappiamo fare... magari domani cambio idea, però...
@Cavallipurosangue: cmq probabilmente hai più prof normalisti tu di me
Edit: cambiato un "razionali" in "reali"
Chissà se in tutto questo marasma Jeko è riuscito a risolvere i suoi dubbi sulla serie proposta... me lo auguro...
avvisa cmq se quanto detto nei post sparsi sopra è bastato, Jeko...
avvisa cmq se quanto detto nei post sparsi sopra è bastato, Jeko...
Salve!Cavolo che caos!
Non mi devo essere spiegato bene,spero di rimediare ora.
Non credo sia stato suggerito di sviluppare una f(n) tipo 1/n o n, cosa impossibile a farsi, anche volendo, perchè non è neppure definito il rapporto incrementale.Altro che continuità!
( a proposito f da N in N, definita da f(n)=n è continua e tranquillamente si possono definire gli intorni ,di un qualsiasi n ,di raggio r qualsiasi.)
Jeko doveva e penso lo stava facendo sviluppare f(x) e calcolare in n , 1/n o dove gli serviva per risolvere il problema.
ESEMPI: Supponiamo di conoscere solo Taylor e di voler calcolare
i seguenti limiti per n che va all'infinito. sin(1/n)/(1/n) ;sin(n)/n
essendo sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5+....
ho per x=1/n sin(1/n)/(1/n)= 1-(1/3!)(1/n)^2+..... E qindi il limite è 1
Mentre per x=n ho sin(n)/n= 1-(1/3!)n^2+(1/5!)x^4 -... che è giusto ma non mi dice niente
A parte il fatto che sono un fesso perchè potevo notare subito che sin(n) è limitato,
[sin(n)]^2<=1.
Se poi amo così tanto Taylor, come Jeko, e voglio sviluppare f(x)=x^2 per trovare f(n) ottengo,sviluppando in un intorno di n,
f(x)=f(n)+f'(n)(x-n)+(1/2)f''(n)(x-n)^2+..... che per x=n risulta f(n)=n^2 esatto ma un po'folle
E se infine non so derivare x^2 posso pensare ad x*x=x+x+x+...x ,x-volte(assurdo) e calcolarmi f'(x) come f'(x)=1+1+.. x-volte che perx=n da 1+1+1..=n, cioè f'(n)=n( sbagliato!) e sostituendo ho, mediante lo sviluppo che f(n)=n^2 caspita esatto!!!! E sono molto, ma molto fortunato!
A proposito per quella famosa convergenza il criterio della radice che limite mi da ?Perchè se da
L(x)=2^x nulla posso dire per la convergenza in x=0 !
Non mi devo essere spiegato bene,spero di rimediare ora.
Non credo sia stato suggerito di sviluppare una f(n) tipo 1/n o n, cosa impossibile a farsi, anche volendo, perchè non è neppure definito il rapporto incrementale.Altro che continuità!
( a proposito f da N in N, definita da f(n)=n è continua e tranquillamente si possono definire gli intorni ,di un qualsiasi n ,di raggio r qualsiasi.)
Jeko doveva e penso lo stava facendo sviluppare f(x) e calcolare in n , 1/n o dove gli serviva per risolvere il problema.
ESEMPI: Supponiamo di conoscere solo Taylor e di voler calcolare
i seguenti limiti per n che va all'infinito. sin(1/n)/(1/n) ;sin(n)/n
essendo sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5+....
ho per x=1/n sin(1/n)/(1/n)= 1-(1/3!)(1/n)^2+..... E qindi il limite è 1
Mentre per x=n ho sin(n)/n= 1-(1/3!)n^2+(1/5!)x^4 -... che è giusto ma non mi dice niente
A parte il fatto che sono un fesso perchè potevo notare subito che sin(n) è limitato,
[sin(n)]^2<=1.
Se poi amo così tanto Taylor, come Jeko, e voglio sviluppare f(x)=x^2 per trovare f(n) ottengo,sviluppando in un intorno di n,
f(x)=f(n)+f'(n)(x-n)+(1/2)f''(n)(x-n)^2+..... che per x=n risulta f(n)=n^2 esatto ma un po'folle
E se infine non so derivare x^2 posso pensare ad x*x=x+x+x+...x ,x-volte(assurdo) e calcolarmi f'(x) come f'(x)=1+1+.. x-volte che perx=n da 1+1+1..=n, cioè f'(n)=n( sbagliato!) e sostituendo ho, mediante lo sviluppo che f(n)=n^2 caspita esatto!!!! E sono molto, ma molto fortunato!
A proposito per quella famosa convergenza il criterio della radice che limite mi da ?Perchè se da
L(x)=2^x nulla posso dire per la convergenza in x=0 !
scusate l'OT, ma forse a voi l'argomento è + fresco in testa, la serie di taylor di $sen piz$ quanto è?
"cavallipurosangue":
Mi ricordo solo che il primo giorno rimasimo tutti sbalorditi perchè partì dagli insiemi ed arrivò ai limiti...
RIMANEMMO...
!!!
Per la prima serie postata da Jeko si aveva:
$a_n=2^(nx)/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$
E per x=0 (da sostituire prima e non dopo il limite!):
$a_n=1/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$
E quindi si ha:
$lim_(n->oo)root[n]a_n=1/4<1$
Dunque la serie converge anche per x=0
Archimede
$a_n=2^(nx)/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$
E per x=0 (da sostituire prima e non dopo il limite!):
$a_n=1/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$
E quindi si ha:
$lim_(n->oo)root[n]a_n=1/4<1$
Dunque la serie converge anche per x=0
Archimede
Raga, non sono un moderatore, ma quà la situazione stà degenerando... questo topic stà diventano un cestino 
.... un pò di ordine ci vuole, altrimenti non ci si raccapezza più!!! 
Non è che ognuno può postare quello che vuole dove vuole.... magari i moderatori potrebbero spostare i messaggi relativi all'esercizio di Jeko di questo topic in un topic a parte....
.... un pò di ordine ci vuole, altrimenti non ci si raccapezza più!!! Non è che ognuno può postare quello che vuole dove vuole.... magari i moderatori potrebbero spostare i messaggi relativi all'esercizio di Jeko di questo topic in un topic a parte....
Ragazzi, sono allibito! Manco un giorno per motivi di salute e ritrovo tutto questo macello? Mi sento un po' al centro dell'attenzione! Comunque domani ho l'esonero di analisi e sicuramente dopo aver consegnato andrò a chiedere spiegazioni sul come risolvere questo esercizio... cosa che ho già fatto, ma che non ho seguito molto bene si vede... sono due settimane che vado all'università con la febbre! Comunque ho ritrovato degli appunti con lo stesso esercizio copiato dallo lavagna in classe e si, il professore usa Taylor per semplificare il numeratore... Ormai ho troppo mal di testa per tentare di assorbire qualcosa di utile adesso... ci sentiamo domani e grazie ancora per l'interesse.
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