Ennesima serie
Pensavo di aver capito, ma a quanto pare mi sbagliavo...
La cosa tragica è che questo "tipo" di esercizi riesco a risolverli... pensavo di aver trovato una cosa sensata e corretta sotto il profilo del ragionamento, ma molto probabilmente avevo trovato solo un metodo "meccanico"
L'esercizio è il seguente:
Sia a>0 la serie:
$ sum_(n=2)^infty ( n(e^(1/n^(5a))) - cos (1/n^(2a))) / (log (3(n logn)^n - n^(nlogn)) )$
Il mio intento è ricondurre tutto ad una serie armonica
$ 1/(n^a(log n)^b)$
Quindi applicando taylor al numeratore e al denominatore ricordando che $ a^b = e^(b log a) $ :
$ sum_(n=2)^infty ( n(1 + 1/(n^(5a)) - (1 - 1/(2n^(4a))) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( n(1/(n^(5a)) + 1/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( (n/(n^(5a)) + n/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
A questo punto prendo in considerazione soltanto la serie minorante :
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (log ( + e^(n (log n)^2) ) )$
che:
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) * 1/(n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty 1/(n^(5a) (log n)^2 )$
che converge per $a > 1/5$ cosa che purtroppo non è vera... almeno il risultato che ho io viene che $a >= 1/4$
Uffa... mi sono rovinato la mattinata con questa storia...
La cosa tragica è che questo "tipo" di esercizi riesco a risolverli... pensavo di aver trovato una cosa sensata e corretta sotto il profilo del ragionamento, ma molto probabilmente avevo trovato solo un metodo "meccanico"
L'esercizio è il seguente:
Sia a>0 la serie:
$ sum_(n=2)^infty ( n(e^(1/n^(5a))) - cos (1/n^(2a))) / (log (3(n logn)^n - n^(nlogn)) )$
Il mio intento è ricondurre tutto ad una serie armonica
$ 1/(n^a(log n)^b)$
Quindi applicando taylor al numeratore e al denominatore ricordando che $ a^b = e^(b log a) $ :
$ sum_(n=2)^infty ( n(1 + 1/(n^(5a)) - (1 - 1/(2n^(4a))) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( n(1/(n^(5a)) + 1/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
$ sum_(n=2)^infty ( (n/(n^(5a)) + n/(2n^(4a)) )) / (log (3e^(n log n log n) + e^(n (log n)^2) ) )$
A questo punto prendo in considerazione soltanto la serie minorante :
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (log ( + e^(n (log n)^2) ) )$
che:
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) / (n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty (n/(n^(5a)) ) * 1/(n (log n)^2 )$
$ sum_(n=2)^infty 1/(n^(5a) (log n)^2 )$
che converge per $a > 1/5$ cosa che purtroppo non è vera... almeno il risultato che ho io viene che $a >= 1/4$
Uffa... mi sono rovinato la mattinata con questa storia...
Risposte
Jeko,ma sei sicuro di poter applicare Taylor a funzioni la cui
variabile indipendente (la n nel caso nostro) prende valori
solo in N e non gia' in R?
Forse mi sto sbagliando di grosso ma ho la sensazione che
ti stai rovinando le giornate per niente.
Ciao.
Archimede.
variabile indipendente (la n nel caso nostro) prende valori
solo in N e non gia' in R?
Forse mi sto sbagliando di grosso ma ho la sensazione che
ti stai rovinando le giornate per niente.
Ciao.
Archimede.
Ciao! Jeko. Ho corretto il mio post. Come hai risolto il prolema della convergenza per x=0?
Perché il criterio del rapporto non dice nulla al riguardo!
Questa nuova serie non posso certo provare a risolverla ad occhio e purtroppo non ho tempo.
Se è troppo difficile potresti ritornare sulla precedente, sviluppando come intendevi fare e risolvendo(se non lo hai fatto di già ) il problema dello zero ; probabilmente qualcuno nel frattempo ti risponderà in modo soddisfacente.
Ah, dimenticavo, certo che puoi sviluppare calcolando in n, se vi sono le condizioni per farlo,
n non è forse un numero ?
Perché il criterio del rapporto non dice nulla al riguardo!
Questa nuova serie non posso certo provare a risolverla ad occhio e purtroppo non ho tempo.
Se è troppo difficile potresti ritornare sulla precedente, sviluppando come intendevi fare e risolvendo(se non lo hai fatto di già ) il problema dello zero ; probabilmente qualcuno nel frattempo ti risponderà in modo soddisfacente.
Ah, dimenticavo, certo che puoi sviluppare calcolando in n, se vi sono le condizioni per farlo,
n non è forse un numero ?
n e' certamente un numero ma nel caso delle serie assume solo valori
discreti ovvero (nel nostro caso) 2,3,4,5 .....Francamente non s'e mai
visto applicare Taylor in questo caso dato che tale
formula per sua natura richiede considerazioni sul continuo e non sul discreto
(e' sufficiente ricordare il concetto di derivata come limite per rendersi conto
dell'assurdita' della cosa)
A meno di non voler operare con l'Analisi Discreta .. ma non mi pare questo
l'obiettivo di Jeko!
Archimede
P.S.
Per la convergenza della prima serie in x=0 si puo' ricorrere al criterio
della radice.
discreti ovvero (nel nostro caso) 2,3,4,5 .....Francamente non s'e mai
visto applicare Taylor in questo caso dato che tale
formula per sua natura richiede considerazioni sul continuo e non sul discreto
(e' sufficiente ricordare il concetto di derivata come limite per rendersi conto
dell'assurdita' della cosa)
A meno di non voler operare con l'Analisi Discreta .. ma non mi pare questo
l'obiettivo di Jeko!
Archimede
P.S.
Per la convergenza della prima serie in x=0 si puo' ricorrere al criterio
della radice.
Archimede, con tutto il rispetto, credo che le tue idee sull'argomento siano un po' confuse;
cerca di non confonderle anche agli altri, che la matematica è già abbastanza complicata
(Almeno per me!)
Ciao!
cerca di non confonderle anche agli altri, che la matematica è già abbastanza complicata
(Almeno per me!)
Ciao!
Ottusangolo ,adesso ti sfido a duello!! Scegli tu l'arma: pistola,carabina o cannone..
Comunque,a parte gli scherzi,credo di aver ragione.Non si puo' applicare
Taylor ad una funzione definita in N anziche' in R perche' ad esempio
viene a mancare il concetto di intorno.Chiedo il conforto di altri pareri
e pronto a far marcia indietro se qualcuno mi dimostra che ho torto.
Archimede
Comunque,a parte gli scherzi,credo di aver ragione.Non si puo' applicare
Taylor ad una funzione definita in N anziche' in R perche' ad esempio
viene a mancare il concetto di intorno.Chiedo il conforto di altri pareri
e pronto a far marcia indietro se qualcuno mi dimostra che ho torto.
Archimede
Credo anch'io che Archimede abbia ragione. Non credo che i numeri naturali possano essere considerati come intorno.
Mi sento tirato in causa, visto che avevo suggerito a Jeko di usare Taylor per questa serie (che mi scuso, non ho voglia di mettermi a fare seriamente, anche perchè ho appena dato analisi 1 e mi sono stufato 
)...
Cmq, per rispondere ad Archimede, un esempio...
$ sum_(n=1)^infty$ $(sen(1/n) )$
$ sum_(n=1)^infty$ $(1/n+o((1/n)) )$
$ sum_(n=1)^infty$ $(1/n*O(1) )$
che è asintoticamente equivalente a 1/n e quindi, se non sbaglio, diverge...
Ora cosa ci ha permesso di fare ciò???
1) il fatto che 1/n tende a 0;
e poi il fatto che sen(1/x) sia asintoticamente equivalente a 1/x... è questo è vero per i reali (ecco il limite) ed IN PARTICOLARE per i naturali... e questo ci permette di fare la sostituzione... in realtà basterebbe che fosse asintoticamente equivalente ad 1/x per i naturali, ma noi abbiamo anche di più!!!
Detto questo, Jeko scrivi meglio il testo, che l'altra volta non avevo capito... leggendo i tuoi calcoli si capisce che quelle $e$ è elevata a qualcosa, mentre per come l'hai scritto sembra che moltiplichi qualche cosa....
Saluti, segnalate le numerose castronerie...
)...Cmq, per rispondere ad Archimede, un esempio...
$ sum_(n=1)^infty$ $(sen(1/n) )$
$ sum_(n=1)^infty$ $(1/n+o((1/n)) )$
$ sum_(n=1)^infty$ $(1/n*O(1) )$
che è asintoticamente equivalente a 1/n e quindi, se non sbaglio, diverge...
Ora cosa ci ha permesso di fare ciò???
1) il fatto che 1/n tende a 0;
e poi il fatto che sen(1/x) sia asintoticamente equivalente a 1/x... è questo è vero per i reali (ecco il limite) ed IN PARTICOLARE per i naturali... e questo ci permette di fare la sostituzione... in realtà basterebbe che fosse asintoticamente equivalente ad 1/x per i naturali, ma noi abbiamo anche di più!!!
Detto questo, Jeko scrivi meglio il testo, che l'altra volta non avevo capito... leggendo i tuoi calcoli si capisce che quelle $e$ è elevata a qualcosa, mentre per come l'hai scritto sembra che moltiplichi qualche cosa....
Saluti, segnalate le numerose castronerie...
ho trovato i calcoli che avevo fatto l'altra volta... anche se c'è un passaggio che ho fatto che non sò se è molto lecito, cmq è plausibile che il denominatore venga asintotico a $log^2(n)$, dopo avere semplificato ... un pò come a te....
ma perchè butti via una frazione??? Se dividi in due serie, hai che il tutto converge sse convergono entrambe, ovvero sse $a>=1/5$ ed $a>=1/4$... e facendo l'intersezione si ha
$a>=1/4$... ma probabilmente sbaglio...
curiosità, ma stai riproponendo sempre lo stesso problema??? No perchè se è così, ok (anche se staresti facendo un pò il furbo, ma in fondo mi stai simpatico e quindi ti scuso )! Altrimenti ti conviene chiedere al tuo prof. come si risolve stà roba, se te la danno sempre... di modo che all'esame la saprai fare!!!
ma perchè butti via una frazione??? Se dividi in due serie, hai che il tutto converge sse convergono entrambe, ovvero sse $a>=1/5$ ed $a>=1/4$... e facendo l'intersezione si ha
$a>=1/4$... ma probabilmente sbaglio...
curiosità, ma stai riproponendo sempre lo stesso problema??? No perchè se è così, ok (anche se staresti facendo un pò il furbo, ma in fondo mi stai simpatico e quindi ti scuso
)! Altrimenti ti conviene chiedere al tuo prof. come si risolve stà roba, se te la danno sempre... di modo che all'esame la saprai fare!!!
"JeKO":
che converge per $a > 1/5$
Sia come sia, quà ci vuole un $a>=1/5$... non so se era una tua dimenticanza, ma è cmq importante per non perdere punti..
Secondo me è lecito usarlo perchè lo si fa in un itorno di $+\infty$ ossia l'unico punto di accumulazione dei numeri naturali, dove ha senso fare i limiti ecc...
Solo una osservazione di metodo, Cavalli, senza alcuna intenzione di polemica...
Magari non avevi tempo, cmq quando si propongono nuove soluzioni ad una medesima questione si deve, oltre che presentare le proprie argomentazioni, anche esprimere perchè quelle vecchie sono errate, oppure evidenziarne l'equivalenza.... altrimenti si fà filosofia (o peggio, politica), non scienza (insomma, non siamo scienziati, ma nel nostro piccolo si stà cercando di fare un es di analisi)... (oppure banalmente si informa gli utenti che non si ha avuto tempo a sufficienza per leggere o riflettere sugli altri interventi)
ps:
Ma come c***o stò parlando??? Mi scuso per il linguaggio eccessivamente forbito... ma ho appena rimediato
Magari non avevi tempo, cmq quando si propongono nuove soluzioni ad una medesima questione si deve, oltre che presentare le proprie argomentazioni, anche esprimere perchè quelle vecchie sono errate, oppure evidenziarne l'equivalenza.... altrimenti si fà filosofia (o peggio, politica), non scienza (insomma, non siamo scienziati, ma nel nostro piccolo si stà cercando di fare un es di analisi)... (oppure banalmente si informa gli utenti che non si ha avuto tempo a sufficienza per leggere o riflettere sugli altri interventi)
ps:
Ma come c***o stò parlando??? Mi scuso per il linguaggio eccessivamente forbito... ma ho appena rimediato
Convengo sul fatto che si possono fare tutte le approssimazioni che si
vogliono ma attenti che siano lecite.A tale scopo porto un classico
( e conosciutissimo ) esempio.
Consideriamo la funzione su N $f(x)=x^2$
Si avra':
$x^2=x*x=x+x+x+....+x $ (x volte)
Deriviamo rispetto ad x (??) :
$2x=1+1+1+1+....+1$ (sempre x volte)
E dunque:
2x=x
Ponendo x=1 :
[size=150]2=1[/size]
Dove sta l'inghippo?
Archimede
vogliono ma attenti che siano lecite.A tale scopo porto un classico
( e conosciutissimo ) esempio.
Consideriamo la funzione su N $f(x)=x^2$
Si avra':
$x^2=x*x=x+x+x+....+x $ (x volte)
Deriviamo rispetto ad x (??) :
$2x=1+1+1+1+....+1$ (sempre x volte)
E dunque:
2x=x
Ponendo x=1 :
[size=150]2=1[/size]
Dove sta l'inghippo?
Archimede
qui sotto da pagina 50 in poi dovrebbe spiegare con degli esempi l'approssimazione di taylor per le successioni
http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/derivate.pdf
http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/derivate.pdf
Scusate se sono stato troppo celere, ma avevo da fare .
A parte che lo sviluppo di Taylor si usa frequentemente per il criterio del confronto asintotico, e lo usa anche l'autore di questo file, comunque io intendevo dire che proprio come dice Archimede se si prova a derivare nei naturali si generano degli assurdi, infatti non esistono punti di accumulazione, quindi essendo la derivata: $f'(x)=lim_{h\to0}{f(x+h)-f(x)}/h$ proprio perchè non ha senso parlare di limite se non si ha un punto di accumulazione. Ora qual'è l'unico punto di accumulazione per i naturali ($NN$)? è $+\infty$. Solo in un intorno di questo valore una successione assume caratteristiche di continuità ed acquista senso fare i limiti, le derivate eccetera... Infatti i limiti alle successioni si fanno, ma solo verso $+\infty$. Ora, dato che le serie prevedono che il temine naturale tenda ad infinito, si possono utilizzare in quell'intorno gli sviluppi di Taylor senza alcun problema. Ma ripeto solo in questo caso sennò Archimede ha perfettamente ragione.
A parte che lo sviluppo di Taylor si usa frequentemente per il criterio del confronto asintotico, e lo usa anche l'autore di questo file, comunque io intendevo dire che proprio come dice Archimede se si prova a derivare nei naturali si generano degli assurdi, infatti non esistono punti di accumulazione, quindi essendo la derivata: $f'(x)=lim_{h\to0}{f(x+h)-f(x)}/h$ proprio perchè non ha senso parlare di limite se non si ha un punto di accumulazione. Ora qual'è l'unico punto di accumulazione per i naturali ($NN$)? è $+\infty$. Solo in un intorno di questo valore una successione assume caratteristiche di continuità ed acquista senso fare i limiti, le derivate eccetera... Infatti i limiti alle successioni si fanno, ma solo verso $+\infty$. Ora, dato che le serie prevedono che il temine naturale tenda ad infinito, si possono utilizzare in quell'intorno gli sviluppi di Taylor senza alcun problema. Ma ripeto solo in questo caso sennò Archimede ha perfettamente ragione.
Trovo molto interessante la questione di inf come punto di accumulazione su R bar (cioè R unito più e meno infinito)... Anche se non riesco proprio a visualizzare una derivata in infinito e nemmeno a dargli un senso... avrei bisogno di una distanza su R_bar... sò mettere una distanza su R_bar, ma non una che estenda quella normale di R... ci devo pensare....
Secondo me cmq la giustificazione più semplice è derivare senza problemi in R e poi guardare i naturali.... non capisco perchè non vi vada bene...
Secondo me cmq la giustificazione più semplice è derivare senza problemi in R e poi guardare i naturali.... non capisco perchè non vi vada bene...
"cavallipurosangue":
Solo in un intorno di questo valore una successione assume caratteristiche di continuità ed acquista senso fare i limiti, le derivate eccetera...
cosa intendi: "in un intorno di +inf si possono fare le derivate"? cioè perchè in un intorno??? se mi allontano da infinito non cado in un valore finito???
Per chiarezza riporto una parte del libro del mio Prof Giuseppe Buttazzo, che tu immagino sicuramente conoscerai perchè insegna ad ingegeneria ed è un tuo collega normalista: ricercatore a vita alla Normale.
Valerio toglimi una curiosità:
il tuo professore normalista in 1 ora quante cose riusciva a spiegare?
lo dico perchè una volta in un corso di calcolo delle probabilità venne a farci lezione una ricercatrice normalista e non ti dico quanta roba ci spigò...
nessuno ci capi' niente... tutti rimasero sconvolti
poi sono venuto a sapere cha alla Normale è normale (scusate il gioco di parole) spiegare cosi'
il tuo professore normalista in 1 ora quante cose riusciva a spiegare?
lo dico perchè una volta in un corso di calcolo delle probabilità venne a farci lezione una ricercatrice normalista e non ti dico quanta roba ci spigò...
nessuno ci capi' niente... tutti rimasero sconvolti
poi sono venuto a sapere cha alla Normale è normale (scusate il gioco di parole) spiegare cosi'
Tantissimo, una cosa pazzesca ti assicuro... Non so poi se è una cosa normale, ma abbiamo fatto in due mesi circa tutta analisi 1 ed analisi 2.
Mi ricordo solo che il primo giorno rimasimo tutti sbalorditi perchè partì dagli insiemi ed arrivò ai limiti...
Scusate adesso un piccolo vanto, ma prendere 27 con lui non è stata roba da poco, vuole sapere tutto
Cmq non è finita qua... quasi tutti i nosrti prof sono di lì... anche quello di fisica.
Ma figurati se è finita... anche gli assistenti... per esempio: di analisi avevamo Alessio Brancolini e Filippo Santambrogio.
Mi ricordo solo che il primo giorno rimasimo tutti sbalorditi perchè partì dagli insiemi ed arrivò ai limiti...
Scusate adesso un piccolo vanto, ma prendere 27 con lui non è stata roba da poco, vuole sapere tutto
Cmq non è finita qua... quasi tutti i nosrti prof sono di lì... anche quello di fisica.
Ma figurati se è finita... anche gli assistenti... per esempio: di analisi avevamo Alessio Brancolini e Filippo Santambrogio.
fammi capire in due mesi hai fatto analisi 1 e 2 con tutte le relative dimostrazioni?
se è cosi' è una cosa ingiusta per non dire vergognosa...
se è cosi' è una cosa ingiusta per non dire vergognosa...
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