Ellisse inscritta in un quadrato
Dato un quadrato di lato 1, descrivere l'ellisse inscritta in essa che abbia perimetro massimale.
La strategia che avevo pensato di attuare è: calcolarmi il perimetro di un ellisse generico di equazione $(1/a^2)x^2+(1/b^2) y^2=1$ (non mi interessa molto come è inclinato nè dove pongo l'origine, per cui lascio perdere le componenti con xy, con x e con y). Il perimetro del quadrato è 4. Quindi considero la funzione
$\Gamma(a,b)=P(a,b)-4$. La mia idea è minimizzare $\Gamma$ col vincolo $\Gamma(a,b)<4$, in quanto voglio che l'ellisse sia più piccola del quadrato...
Purtroppo calcolando lintegrale di linea mi sono reso conto che non viene una funzione elementare...che faccio?
La strategia che avevo pensato di attuare è: calcolarmi il perimetro di un ellisse generico di equazione $(1/a^2)x^2+(1/b^2) y^2=1$ (non mi interessa molto come è inclinato nè dove pongo l'origine, per cui lascio perdere le componenti con xy, con x e con y). Il perimetro del quadrato è 4. Quindi considero la funzione
$\Gamma(a,b)=P(a,b)-4$. La mia idea è minimizzare $\Gamma$ col vincolo $\Gamma(a,b)<4$, in quanto voglio che l'ellisse sia più piccola del quadrato...
Purtroppo calcolando lintegrale di linea mi sono reso conto che non viene una funzione elementare...che faccio?
Risposte
Ma fin quando sono i libri per il vecchio ordinamento? pagani salsa (1994-1995) va bene?
Sì, lì dovrebbe esserci tutto.
Ok, stando così le cose.
Equazione parametrica dell'ellisse
$x(t)=t$
$y(t)=b\sqrt(1-a^2 t/b^2)$
Perimetro del quadrato: 4
Perimetro dell'ellisse: $4\int_0^a sqrt(\dot x^2(t)+\dot y^2(t)) dt$
Differenza dei perimetri: $\Gamma(a,b)=4-4\int_0^a sqrt(\dot x^2(t)+\dot y^2(t)) dt$
Deriviamo rispetto ad $a$ e rispetto a $b$ e poniamo uguale a 0...
solo che non posso applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale...
Equazione parametrica dell'ellisse
$x(t)=t$
$y(t)=b\sqrt(1-a^2 t/b^2)$
Perimetro del quadrato: 4
Perimetro dell'ellisse: $4\int_0^a sqrt(\dot x^2(t)+\dot y^2(t)) dt$
Differenza dei perimetri: $\Gamma(a,b)=4-4\int_0^a sqrt(\dot x^2(t)+\dot y^2(t)) dt$
Deriviamo rispetto ad $a$ e rispetto a $b$ e poniamo uguale a 0...
solo che non posso applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale...
sono uscite le soluzioni...sto imprecando come una bestia...c'è ditemi se è possibile mettere cose del genere in un compito di analisi 3! Volete il link?
"newton_1372":
Perimetro del quadrato: 4
Perimetro dell'ellisse: \( 4\int_0^a sqrt(\dot x^2(t)+\dot y^2(t)) dt \)
Differenza dei perimetri: \( \Gamma(a,b)=4-4\int_0^a sqrt(\dot x^2(t)+\dot y^2(t)) dt \)
Non capisco perché fai la differenza, qui.
Nessuno ti sta chiedendo di analizzare cosa succede alla differenza tra i perimetri.
"newton_1372":
sono uscite le soluzioni [...] Volete il link?
A questo punto sì, mi hai incuriosito.
ho minimizzato la differenza perchè pensavo che la differenza tra i perimetri deve essere la minima possibile (per far si che sia proprio l'ellisse TANGENTE...
Comunque NON ci capisco nulla neanche nella risoluzione, sono solo imbestialito che mi hanno fatto mandare al cesso un esame per questa cosa...
link http://www.dm.unipi.it/~georgiev/didatt ... nn2013.pdf
pag. 2
Comunque NON ci capisco nulla neanche nella risoluzione, sono solo imbestialito che mi hanno fatto mandare al cesso un esame per questa cosa...
link http://www.dm.unipi.it/~georgiev/didatt ... nn2013.pdf
pag. 2
Ho messo una soluzione, alternativa a questa, nella sezione Pensare un po' di più.
Inoltre, ho fatto un po' di ricerche: il problema risale ad una vecchia gara di Matematica delle Putnam Competition, che sono una specie di olimpiadi della Matematica riservata agli studenti undergraduate dei maggiori college di USA e Canada; in particolare, è il problema A4 della gara tenutasi nel dicembre 1972.
Per onor di cronaca, quella gara fu vinta dalla squadra del CalTech (California Institute of Technology).
Inoltre, ho fatto un po' di ricerche: il problema risale ad una vecchia gara di Matematica delle Putnam Competition, che sono una specie di olimpiadi della Matematica riservata agli studenti undergraduate dei maggiori college di USA e Canada; in particolare, è il problema A4 della gara tenutasi nel dicembre 1972.
Per onor di cronaca, quella gara fu vinta dalla squadra del CalTech (California Institute of Technology).
OT anch'io avrò georgiev...newron devo aver paura?? :S \OT
Non è che potreste spiegarmi la frase "PER SIMMETRIA SI VEDE CHE I FUOCHI STANNO SULLA DIAGONALE DEL QUADRATO?
Per me non "si vede"... Quindi non so spiegartelo.
La soluzione che ho trovato e che mi pare più ragionevole, la trovi qui.
Per il resto, la cosa più sensata da farsi è andare a ricevimento dal docente.
La soluzione che ho trovato e che mi pare più ragionevole, la trovi qui.
Per il resto, la cosa più sensata da farsi è andare a ricevimento dal docente.
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