Ellisse inscritta in un quadrato
Dato un quadrato di lato 1, descrivere l'ellisse inscritta in essa che abbia perimetro massimale.
La strategia che avevo pensato di attuare è: calcolarmi il perimetro di un ellisse generico di equazione $(1/a^2)x^2+(1/b^2) y^2=1$ (non mi interessa molto come è inclinato nè dove pongo l'origine, per cui lascio perdere le componenti con xy, con x e con y). Il perimetro del quadrato è 4. Quindi considero la funzione
$\Gamma(a,b)=P(a,b)-4$. La mia idea è minimizzare $\Gamma$ col vincolo $\Gamma(a,b)<4$, in quanto voglio che l'ellisse sia più piccola del quadrato...
Purtroppo calcolando lintegrale di linea mi sono reso conto che non viene una funzione elementare...che faccio?
La strategia che avevo pensato di attuare è: calcolarmi il perimetro di un ellisse generico di equazione $(1/a^2)x^2+(1/b^2) y^2=1$ (non mi interessa molto come è inclinato nè dove pongo l'origine, per cui lascio perdere le componenti con xy, con x e con y). Il perimetro del quadrato è 4. Quindi considero la funzione
$\Gamma(a,b)=P(a,b)-4$. La mia idea è minimizzare $\Gamma$ col vincolo $\Gamma(a,b)<4$, in quanto voglio che l'ellisse sia più piccola del quadrato...
Purtroppo calcolando lintegrale di linea mi sono reso conto che non viene una funzione elementare...che faccio?
Risposte
$\arctan up^(\log Up)$
Il perimetro di un ellisse rispetto ai semiassi si esprime mediante una funzione non elementare, fornita dal cosiddetto integrale ellittico di prima specie (se non erro).
Quindi questa strada è un po' faticosa, ma puoi provare ugualemente a massimizzare il perimetro usando i classici metodi del Calcolo.
Tuttavia, il problema è che a seconda di com'è piazzata la retta su cui giace l'asse maggiore dell'ellisse dentro il quadrato, si modificano di conseguenze gli intervalli in cui puoi prendere le lunghezze dei semiassi:
Ad esempio, se la retta su cui giace l'asse maggiore è parallela ai lati, puoi inscrivere nel quadrato un'unica ellisse: la circonferenza.
Invece, se la retta su cui giace l'asse maggiore è inclinata lungo la diagonale del quadrato, puoi inscrivere nel quadrato infinite ellissi, le quali possono essere deformate con continuità dalla circonferenza alla diagonale del quadrato.
Insomma, la geometria del problema non è semplice, perché il vincolo "essere inscritta nel quadrato" (il che, per me, vuol dire che l'ellisse ha quattro punti di tangenza coi lati, uno per lato) è fetentissimo.*
Una cosa che si potrebbe fare è la seguente.
Innanzitutto mostrare che affinché un ellisse sia inscritta nel quadrato, il suo centro deve coincidere col centro del quadrato.
Fatto ciò, si può supporre, per semplificare, che il centro di quadrato ed ellissi sia l'origine.
Poi, si fissa un coefficiente angolare \(0\leq m\leq 1\) e si cerca di descrivere l'insieme dei numeri positivi \(a>b\) che possono essere semiassi di ellissi inscritte nel quadrato con l'asse maggiore giacente la retta con coefficiente angolare \(m\); per questi valori di \(a,b\) si cerca di mostrare che il perimetro dell'ellisse è minore del perimetro della circonferenza inscritta nel quadrato (poiché il cerchio è la soluzione suggerita dall'intuizione geometrica).
__________
*Non puoi trasformare un vincolo geometrico come quello di inscrizione in uno analitico sul perimetro, così impunemente... Infatti esistono tanti insiemi inscritti nel quadrato che hanno perimetro infinito, quindi mooolto maggiore di \(4\).
Quindi o dimostri che \(\Gamma (a,b)<4\) è equivalente al tuo vincolo geometrico, oppure questa è una forzatura che trasforma il problema originario in qualcos'altro.
Quindi questa strada è un po' faticosa, ma puoi provare ugualemente a massimizzare il perimetro usando i classici metodi del Calcolo.
Tuttavia, il problema è che a seconda di com'è piazzata la retta su cui giace l'asse maggiore dell'ellisse dentro il quadrato, si modificano di conseguenze gli intervalli in cui puoi prendere le lunghezze dei semiassi:
Ad esempio, se la retta su cui giace l'asse maggiore è parallela ai lati, puoi inscrivere nel quadrato un'unica ellisse: la circonferenza.
Invece, se la retta su cui giace l'asse maggiore è inclinata lungo la diagonale del quadrato, puoi inscrivere nel quadrato infinite ellissi, le quali possono essere deformate con continuità dalla circonferenza alla diagonale del quadrato.
Insomma, la geometria del problema non è semplice, perché il vincolo "essere inscritta nel quadrato" (il che, per me, vuol dire che l'ellisse ha quattro punti di tangenza coi lati, uno per lato) è fetentissimo.*
Una cosa che si potrebbe fare è la seguente.
Innanzitutto mostrare che affinché un ellisse sia inscritta nel quadrato, il suo centro deve coincidere col centro del quadrato.
Fatto ciò, si può supporre, per semplificare, che il centro di quadrato ed ellissi sia l'origine.
Poi, si fissa un coefficiente angolare \(0\leq m\leq 1\) e si cerca di descrivere l'insieme dei numeri positivi \(a>b\) che possono essere semiassi di ellissi inscritte nel quadrato con l'asse maggiore giacente la retta con coefficiente angolare \(m\); per questi valori di \(a,b\) si cerca di mostrare che il perimetro dell'ellisse è minore del perimetro della circonferenza inscritta nel quadrato (poiché il cerchio è la soluzione suggerita dall'intuizione geometrica).
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*Non puoi trasformare un vincolo geometrico come quello di inscrizione in uno analitico sul perimetro, così impunemente... Infatti esistono tanti insiemi inscritti nel quadrato che hanno perimetro infinito, quindi mooolto maggiore di \(4\).
Quindi o dimostri che \(\Gamma (a,b)<4\) è equivalente al tuo vincolo geometrico, oppure questa è una forzatura che trasforma il problema originario in qualcos'altro.
questo problema era nel mio esame di ieri!!! O_o
PS. non sospettate di me, l'ho mandato il pomeriggio, l'esame era di mattina!
PS. non sospettate di me, l'ho mandato il pomeriggio, l'esame era di mattina!
Ah... Che esame?
Se era Analisi II, è probabile che con "inscritta" si volesse dire semplicemente "contenuta" (il che comunque è una barbarie linguistica).
In tal caso, forse il problema poteva essere risolto come problema di massimo vincolato:
\[
\begin{cases}
\max \operatorname{Per} (\mathcal{E}(a,b)) \\
\text{s.v. } \operatorname{Area} (\mathcal{E}(a,b)) \leq 1 \\
\phantom{\text{s.v. }} 0\leq \ a,b\leq 1/\sqrt{2}
\end{cases}
\]
o qualcosa di simile, ove \(\mathcal{E}(a,b)\) è la generica ellisse di semiassi \(a,b\) (il cui perimetro, come già detto, si esprime mediante un integrale ellittico e la cui area come noto è \(\operatorname{Area} (\mathcal{E}(a,b)) =\pi ab\)).
Se era Analisi II, è probabile che con "inscritta" si volesse dire semplicemente "contenuta" (il che comunque è una barbarie linguistica).
In tal caso, forse il problema poteva essere risolto come problema di massimo vincolato:
\[
\begin{cases}
\max \operatorname{Per} (\mathcal{E}(a,b)) \\
\text{s.v. } \operatorname{Area} (\mathcal{E}(a,b)) \leq 1 \\
\phantom{\text{s.v. }} 0\leq \ a,b\leq 1/\sqrt{2}
\end{cases}
\]
o qualcosa di simile, ove \(\mathcal{E}(a,b)\) è la generica ellisse di semiassi \(a,b\) (il cui perimetro, come già detto, si esprime mediante un integrale ellittico e la cui area come noto è \(\operatorname{Area} (\mathcal{E}(a,b)) =\pi ab\)).
appunto! E come trovo il max di un integrale ellittico? E perchè l'area deve essere minore o uguale a 1?
PS comunque non penso che sia "contenuto" c'era una figura con un quadrato e un ellisse che ci stava dentro e toccava il quadrato in quattro punti...
PS comunque non penso che sia "contenuto" c'era una figura con un quadrato e un ellisse che ci stava dentro e toccava il quadrato in quattro punti...
In tal caso, dato che l'ellisse è contenuta nel quadrato, essa ha necessariamente area minore di quella del quadrato (per la monotonia della misura di Lebesgue; però questa proprietà, come detto, non si estende al perimetro).
Inoltre, però, il vincolo sull'area non è sufficiente: infatti, esistono ellissi di area piccola che non sono contenute nel quadrato (prendi un'ellisse secca e lunga nella direzione dell'asse delle ascisse).
Quindi a tale vincolo devi comunque aggiungere qualcosa sulla lunghezza dei semiassi... Immagino che basti imporre che i semiassi non superino la lunghezza della semidiagonale del quadrato, ma si dovrebbe verificare se questo problema è del tutto equivalente a quello che hai postato.
Ad ogni modo, se il disegno è quello che dici tu, l'unico ragionamento logico da fare pare quello che ti ho segnalato nel mio primo post.
Non è che l'ellisse aveva la direzione degli assi già scelta?
Inoltre, però, il vincolo sull'area non è sufficiente: infatti, esistono ellissi di area piccola che non sono contenute nel quadrato (prendi un'ellisse secca e lunga nella direzione dell'asse delle ascisse).
Quindi a tale vincolo devi comunque aggiungere qualcosa sulla lunghezza dei semiassi... Immagino che basti imporre che i semiassi non superino la lunghezza della semidiagonale del quadrato, ma si dovrebbe verificare se questo problema è del tutto equivalente a quello che hai postato.
Ad ogni modo, se il disegno è quello che dici tu, l'unico ragionamento logico da fare pare quello che ti ho segnalato nel mio primo post.
Non è che l'ellisse aveva la direzione degli assi già scelta?
Non c'era nessun asse...c'è solo il quadrato...(non abbiamo fatto l'integrale di Lebesgue nel corso, o meglio, non ancora
Beh... Allora sembra che ragionare come ho detto sopra sia l'unica strada.
In tal caso, non mi sembra un esercizio da proporre in un compito perché è inutilmente complesso (certo, forse se sei in Normale la cosa è differente...
).
Se qualcun altro avesse un'idea più semplice per risolvere, sono tutto orecchie.
In tal caso, non mi sembra un esercizio da proporre in un compito perché è inutilmente complesso (certo, forse se sei in Normale la cosa è differente...
).Se qualcun altro avesse un'idea più semplice per risolvere, sono tutto orecchie.
Per carità di Dio è anche divertente il problema, ma magari fatto per i fatti miei con tutto il tempo che voglio e il mio bicchierino di caffè di tanto in tanto...trascrivo con precisione il testo
"Tra tutti ellissi iscritti nel quadrato di lato 1 descrivere l'ellisse di perimetro massimale"
PS. Detto fra di noi, sono geloso di quelli della normale
"Tra tutti ellissi iscritti nel quadrato di lato 1 descrivere l'ellisse di perimetro massimale"
PS. Detto fra di noi, sono geloso di quelli della normale
"newton_1372":
Per carità di Dio è anche divertente il problema, ma magari fatto per i fatti miei con tutto il tempo che voglio e il mio bicchierino di caffè di tanto in tanto...
Appunto.
Questo esercizio, sicuramente interessante, andrebbe fatto con calma, non in due ore di compito insieme ad altri esercizi.
"newton_1372":
PS. Detto fra di noi, sono geloso di quelli della normale
Io geloso non sono; però mi spiace non aver mai provato ad entrarci.
Uppo, non si sa mai a qualcuno potrebbe venire una buona idea
Up
Lo posto anche in Pensare un po' di Più... Vedi mai che qualcuno passi. 
addirittura "pensare un pò di più" ahaha
Sinceramente, non capisco cosa ci sia da riderci sopra...
Se vuoi cancello il thread lì; forse ti fa più piacere?
Se vuoi cancello il thread lì; forse ti fa più piacere?
no, nel senso che mi stupisce che un problema da"pensare un pò di più" sia finito in un esame di analisi 3...
Comunque ascolta, nel frattempo volevo chiederti: se ho un integrale ellittico del tipo
$f(a,b)=\int_0^a F(a,b) da$
C'è un sistema per calcolare $(\partial f)/(\partial b)$?
Comunque ascolta, nel frattempo volevo chiederti: se ho un integrale ellittico del tipo
$f(a,b)=\int_0^a F(a,b) da$
C'è un sistema per calcolare $(\partial f)/(\partial b)$?
Pensavo di usare $(\partial f)/(\partial a)(\partial a)/(partial b)$ ma non ottengo molto, o meglio, ottengo 0...perchè suppongo che b non dipenda da a...
"newton_1372":
no, nel senso che mi stupisce che un problema da"pensare un pò di più" sia finito in un esame di analisi 3...
Non è il problema di massimo ad essere difficile... Anzi.
Il problema è dimostrare che il vincolo geometrico di "inscrizione" si può tradurre in un vincolo sulle lunghezze dei semiassi, poiché l'unico modo che si ha per inscrivere un'ellisse dentro un quadrato è facendo coincidere i suoi assi con le diagonali del quadrato.
"newton_1372":
Comunque ascolta, nel frattempo volevo chiederti: se ho un integrale ellittico del tipo
\( f(a,b)=\int_0^a F(a,b) da \)
C'è un sistema per calcolare \( (\partial f)/(\partial b) \)?
Derivazione sotto il segno di integrale.
cioè? Posso portare la derivata dentro? mi sa strano..la derivazione sotto il seghno di integrale al limite si riferirebbe alle successioni di funzioni o no?
"newton_1372":
Posso portare la derivata dentro?
Sì.
Questa è una proprietà basilare degli integrali dipendenti da parametri in maniera liscia... Mi stupisce che tu non la conosca: dovrebbe essere sul tuo libro di Analisi II.
Se non c'è, prendi un libro per il vecchio ordinamento.
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