EDP Separazione di variabili
Ciao a tutti ragazzi. Devo risolvere questo problema mediante la separazione d variabili.
$\U_t - U_{x,x}= 0 $ $\Rightarrow$ $\ (t,x) in (-infty,infty) x (0,infty) $
$\U (0,x)= 1/sqrt(3)*sin(3x)+2*sqrt(3)*sin(6*x) $ $\Rightarrow$ $\ x in [0,pi) $
$\U(t,0)=U(t,pi)=0 $ $\Rightarrow$ $\ t in [0,infty) $
Mi sono calcolato gli autovalori $\lambda_k=k^2$ e le autofunzioni $\A_k*sin(k*x)$. Quello che non capisco sono i passaggi che fa per ottenere la soluzione finale U(x,t) che soddisfa la U(0,x).
Avrei $\sum_{k=1}^infty C_k*sin(k*x)*e^(-k^2*t)$ .... Da qui non so piu andare avanti. Qualcuno mi puo spiegare passo passo come si risolve. Ho un esame a breve.
Grazie mille
Un abbraccio
$\U_t - U_{x,x}= 0 $ $\Rightarrow$ $\ (t,x) in (-infty,infty) x (0,infty) $
$\U (0,x)= 1/sqrt(3)*sin(3x)+2*sqrt(3)*sin(6*x) $ $\Rightarrow$ $\ x in [0,pi) $
$\U(t,0)=U(t,pi)=0 $ $\Rightarrow$ $\ t in [0,infty) $
Mi sono calcolato gli autovalori $\lambda_k=k^2$ e le autofunzioni $\A_k*sin(k*x)$. Quello che non capisco sono i passaggi che fa per ottenere la soluzione finale U(x,t) che soddisfa la U(0,x).
Avrei $\sum_{k=1}^infty C_k*sin(k*x)*e^(-k^2*t)$ .... Da qui non so piu andare avanti. Qualcuno mi puo spiegare passo passo come si risolve. Ho un esame a breve.
Grazie mille
Un abbraccio
Risposte
So che si deve usare lo sviluppo in serie di Fourier, nel mio caso in soli seni. Se mi calcolo questo integrale mi esce il termine bn=0 e non è corretto.
$\int_0^pi 1/sqrt(3)*sin(3x)+2*sqrt(3)*sin(6*x) * sin (k*x) dx$
$\int_0^pi 1/sqrt(3)*sin(3x)+2*sqrt(3)*sin(6*x) * sin (k*x) dx$
Ma hai già fatto! Usando la tua notazione hai che la soluzione generale è
$ U(t,x) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k \sin(kx) e^{- k^2 t} $
e i $C_k$ sono dati da
$ U(0,x) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k \sin(kx) $
ma siccome
$ U(0,x) = 1/\sqrt(3) \sin(3x) + 2 \sqrt(3) \sin(6x) $
uguagliando i coefficienti dei vari seni nelle due ultime espressioni trovi
\( \begin{cases}
C_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \\
C_6 = 2\sqrt{3} \\
C_k = 0 \quad \text{se} \quad k \neq 3,6
\end{cases} \)
e quindi
$ U(t,x) = 1/\sqrt(3) \sin(3x) e^{-9 t} + 2 \sqrt(3) \sin(6x) e^{-36 t} $
Questo è il metodo "rapido". Cioè riconosci i coefficienti $C_k$ "ad occhio" confrontando le due espressioni. E' un metodo comodo in casi come questo, cioè quando la condizione iniziale è già espressa come combinazione lineare (finita) delle autofunzioni. Negli altri casi puoi usare la formula generale, quella con l'integrale, che comunque funziona anche in questo caso. Infatti la teoria ti dice che in generale
$ C_k = ( \int_0^{\pi} U(0,x) \sin(kx) dx ) / (\int_0^{\pi} \sin^2 (kx) dx ) $
che è poi quello che hai postato tu (anche se nella tua manca qualche parentesi e il fattore al denominatore). Ma questo integrale non ti devi mettere a svolgerlo esplicitamente perchè puoi sfruttare il fatto che le autofunzioni sono ortogonali e cioè che
$ \int_0^{\pi} \sin(kx) \sin(nx) dx = 0 \quad \text{se} \quad k \ne n$
quindi i $C_k$ non nulli sono quelli con $k=3,6$ e sono proprio quelli scritti sopra, perchè l'integrale del seno si semplifica. Ti torna?
$ U(t,x) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k \sin(kx) e^{- k^2 t} $
e i $C_k$ sono dati da
$ U(0,x) = \sum_{k=1}^{\infty} C_k \sin(kx) $
ma siccome
$ U(0,x) = 1/\sqrt(3) \sin(3x) + 2 \sqrt(3) \sin(6x) $
uguagliando i coefficienti dei vari seni nelle due ultime espressioni trovi
\( \begin{cases}
C_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \\
C_6 = 2\sqrt{3} \\
C_k = 0 \quad \text{se} \quad k \neq 3,6
\end{cases} \)
e quindi
$ U(t,x) = 1/\sqrt(3) \sin(3x) e^{-9 t} + 2 \sqrt(3) \sin(6x) e^{-36 t} $
Questo è il metodo "rapido". Cioè riconosci i coefficienti $C_k$ "ad occhio" confrontando le due espressioni. E' un metodo comodo in casi come questo, cioè quando la condizione iniziale è già espressa come combinazione lineare (finita) delle autofunzioni. Negli altri casi puoi usare la formula generale, quella con l'integrale, che comunque funziona anche in questo caso. Infatti la teoria ti dice che in generale
$ C_k = ( \int_0^{\pi} U(0,x) \sin(kx) dx ) / (\int_0^{\pi} \sin^2 (kx) dx ) $
che è poi quello che hai postato tu (anche se nella tua manca qualche parentesi e il fattore al denominatore). Ma questo integrale non ti devi mettere a svolgerlo esplicitamente perchè puoi sfruttare il fatto che le autofunzioni sono ortogonali e cioè che
$ \int_0^{\pi} \sin(kx) \sin(nx) dx = 0 \quad \text{se} \quad k \ne n$
quindi i $C_k$ non nulli sono quelli con $k=3,6$ e sono proprio quelli scritti sopra, perchè l'integrale del seno si semplifica. Ti torna?
Ok grazie mille. Ora mi torna tutto. Grazie.
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