EDO ( prolungamento massimale )

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Salve a tutti ,

ho un problema con questo pdC , che ho ripreso da un esame passato, esame che io avrò domani :

$ { ( y'-ycosx=y^2cosx ),( y(o)=1 ):} $ ,

si trovi anche la soluzione massimale , cioè il prolungamento massimale della soluzione locale.

Allora io ho trovato la soluzione del pdC , che è :

$ y(x)= 1/(2e^(-sinx) -1 $

ora mi blocca quando mi si chiede il prolungamento massimale di questa soluzione.
Ora io so che la funzione non è definita per

$2e^(-sinx)=1$ ovvero $sinx=ln2$ da cui $x=arcsinln2$ , allora io direi innanzitutto che

$ y(x)= 1/(2e^(-sinx) -1 $ per $ x (0, arcsinln2 ) $ , ma questo non è il più grande intervallo dì esistenza della soluzione ,

almeno credo . Grazie in anticipo per l' aiuto.

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Sta facendo un po di conti , il primo intervallo che ho trovato io , $(0, arcsin ln2 )$ , non va bene , anche perchè lo $0$ sarebbe evidentemente compreso in quest' intervallo .

Ho provato a mettere $x=-arcsinx$ e sembra che abbia trovato l' estremo inferiore .

Ma come ci si può arrivare in modo rigoroso ? E' giusto allora dire che l' intervallo massimale di esistenza è :

$(-arcsinln2, arcsinln2)$ ???

[porzio1]

francamente a me sembra lapalisssiano :
siccome si parte da zero,l'estremo inferiore è la prima x negativa che si "incontra"per la quale si annulla il denominatore,
l'estremo superiore è la prima x positiva

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Grazie !