EDO
Risolvere: [tex]$\ddot{x} +16x ={\cos^2(2t)}[/tex]
Ponendo [tex]{\cos^2(2t)}=1/2 + \cos(4t)/2[/tex] ho trovato come soluzione particolare per l'ultimo fattore:
[tex]$\tilde{x}=t\big(C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)\big)[/tex] ma risolvendo per trovare le due costanti ricavo:
[tex]$
\bigg \{
\begin{array}
8C_2 + 16C_1t = \frac{1}{2} \\
-8C_1 - 16C_2t =0 \\
\end{array}
$[/tex]
il che mi lascia un po perplesso perchè sia [tex]C_1[/tex] che [tex]C_2[/tex] dovrebbero essere uguali a 0
Ponendo [tex]{\cos^2(2t)}=1/2 + \cos(4t)/2[/tex] ho trovato come soluzione particolare per l'ultimo fattore:
[tex]$\tilde{x}=t\big(C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)\big)[/tex] ma risolvendo per trovare le due costanti ricavo:
[tex]$
\bigg \{
\begin{array}
8C_2 + 16C_1t = \frac{1}{2} \\
-8C_1 - 16C_2t =0 \\
\end{array}
$[/tex]
il che mi lascia un po perplesso perchè sia [tex]C_1[/tex] che [tex]C_2[/tex] dovrebbero essere uguali a 0
Risposte
Utilizzando la formula di bisezione avresti [tex]$\cos^2(2t)=\frac{1+\cos(4t)}{2}$[/tex] per cui come soluzione particolare potresti cercare [tex]$\widetilde x(t)=a\cos(4t)+b\sin(4t)$[/tex], non capisco comunque come tu sia arrivato a quella formula!
Perchè [tex]\alpha + \beta = 0+4i[/tex] è soluzione dell'equazione omogenea e ha molteplicità 1
Ne sei sicuro? E [tex]$-4i$[/tex] allora?
E' sempre soluzione ma non ha senso considerarla perchè si ha [tex]\cos(\large{+}4t)[/tex]
"duff18":Ah si? Prova a valutare quel sistema di equazioni con $C_1=C_2=0$. Ottieni
[tex]$
\bigg \{
\begin{array}
8C_2 + 16C_1t = \frac{1}{2} \\
-8C_1 - 16C_2t =0 \\
\end{array}
$[/tex]
il che mi lascia un po perplesso perchè sia [tex]C_1[/tex] che [tex]C_2[/tex] dovrebbero essere uguali a 0
${(0=1/2), (0=0):}$
che non mi pare sia una identità.
Il modo più rapido per risolvere questo problema è quello suggerito da j18eos, senza dubbio.
"j18eos":
[tex]$a\cos(4t) +b\sin(4t)[/tex]
ma questa è una soluzione dell'equazione omogenea quindi va moltiplicata per t,
inoltre avevo scritto che sia [tex]C_1[/tex] che [tex]C_2[/tex] dovrebbero valere 0 perchè per come ho risolto io sarebbero i coefficienti di [tex]\sin(4t),t\cos(4t),t\sin(4t)[/tex].
Dato che però [tex]C_2[/tex] è anche il coefficiente di [tex]\cos(4t)[/tex]non può andare a zero, quindi giungo a quel controsenso.
Spero di aver spiegato i miei dubbi
Scusate se mi intrometto, ma la soluzione particolare dovrebbe essere della forma
[tex]$x_p(t)=a+t[b\cos(4t)+c\sin(4t)]$[/tex]
se si utilizza, come diceva j18eos, la formula di bisezione.
[tex]$x_p(t)=a+t[b\cos(4t)+c\sin(4t)]$[/tex]
se si utilizza, come diceva j18eos, la formula di bisezione.
Si infatti, come dicevo io,
[tex]$a[/tex] vale [tex]$\frac {1}{32}[/tex] è l'altro termine che non riesco a capire
[tex]$a[/tex] vale [tex]$\frac {1}{32}[/tex] è l'altro termine che non riesco a capire
Come fai a cercare i valori delle costanti $a,b,c$? Secondo me è qui il problema!
Beh basta considerarle separatamente,
prima risolvi per a e trovi la soluzione,
poi per l'altro termine, ma qui mi confondo
prima risolvi per a e trovi la soluzione,
poi per l'altro termine, ma qui mi confondo
????? No aspetta, non ti seguo! Che vuoi dire le consideri separatamente? Guarda che $a,b,c$ sono costanti specifiche che non dipendono dal problema di Cauchy che stai risolvendo!
Intendo dire che il termine noto [tex]f(x)[/tex] è una somma di diversi termini quindi li considero una alla volta cercando una soluzione particolare per ciascuno, condizioni iniziali proprio non ce ne sono
Sì, ok. Questo va bene. Vorrei però capire che procedimento usi per calcolare queste costanti. Una volta scritta la soluzione particolare
[tex]x_p(t)=a+t[b\cos(4t)+c\sin(4t)]$[/tex]
che operazioni esegui?
[tex]x_p(t)=a+t[b\cos(4t)+c\sin(4t)]$[/tex]
che operazioni esegui?
prima soluzione particolare [tex]${x_1} = C[/tex]
[tex]$\ddot{x_1}+16x_1=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$C=\frac{1}{32}[/tex], quindi [tex]$x_1=\frac{1}{32}[/tex]
Stessa cosa per l'altro termine
[tex]$\ddot{x_1}+16x_1=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$C=\frac{1}{32}[/tex], quindi [tex]$x_1=\frac{1}{32}[/tex]
Stessa cosa per l'altro termine
Ok, il metodo è giusto. Ora spiegami cosa non riesci a capire.
Ok mistero risolto,
risolvendo allo stesso modo per il secondo termine [tex]$\cos(4t) / 2[/tex] tutto torna, il metodo che utilizzo è quello giusto, prima effettuavo solo uno sbaglio di distrazione, grazie comunque per il tuo aiuto.
P.S. [tex]$a\cos(4t) + b\sin(4t)[/tex] non è soluzione particolare!
risolvendo allo stesso modo per il secondo termine [tex]$\cos(4t) / 2[/tex] tutto torna, il metodo che utilizzo è quello giusto, prima effettuavo solo uno sbaglio di distrazione, grazie comunque per il tuo aiuto.
P.S. [tex]$a\cos(4t) + b\sin(4t)[/tex] non è soluzione particolare!
"ciampax":
Sì, ok. Questo va bene. Vorrei però capire che procedimento usi per calcolare queste costanti. Una volta scritta la soluzione particolare
[tex]x_p(t)=a+t[b\cos(4t)+c\sin(4t)]$[/tex]
che operazioni esegui?
Infatti la soluzione particolare è questa!
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