Ecco un limite
$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)-\sin(x)}{1-cos^2x} $
Come si fa? È possibile farlo oppure il limite non esiste? Se non esiste come si fa a spiegarlo?
Grazie.
Io ho fatto questo
$= \lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)-\sin(x)}{sin^2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{ln(1-x)}{sin^2x}-\frac{1}{sin x}) $
$ = +\infty -\infty $ che è una forma indeterminata
allora ho provato con de l'Hôpital:
$ lim_{x \to 0} \frac{f'}{g'}$
$f'= \frac{d[ ln(1-x) -sinx ]}{dx} =cos x -\frac{1}{1-x} $
$g'= \frac{d(sin^2x)}{dx}= -2cosx sin x$
$lim_{x \to 0} \frac{cos x -\frac{1}{1-x}}{-2cosx sin x}$
$= lim_{x \to 0} [- \frac{1}{2sinx} + \frac{1}{2(1-x)cosx sin x}]$
Così però non mi pare di aver risolto niente... help!
Come si fa? È possibile farlo oppure il limite non esiste? Se non esiste come si fa a spiegarlo?
Grazie.
Io ho fatto questo
$= \lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)-\sin(x)}{sin^2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{ln(1-x)}{sin^2x}-\frac{1}{sin x}) $
$ = +\infty -\infty $ che è una forma indeterminata
allora ho provato con de l'Hôpital:
$ lim_{x \to 0} \frac{f'}{g'}$
$f'= \frac{d[ ln(1-x) -sinx ]}{dx} =cos x -\frac{1}{1-x} $
$g'= \frac{d(sin^2x)}{dx}= -2cosx sin x$
$lim_{x \to 0} \frac{cos x -\frac{1}{1-x}}{-2cosx sin x}$
$= lim_{x \to 0} [- \frac{1}{2sinx} + \frac{1}{2(1-x)cosx sin x}]$
Così però non mi pare di aver risolto niente... help!
Risposte
È probabile che abbia sbagliato il segno della derivata del sin x che è + cos x. Non dovrebbe cambiare molto... il problema del limite resta
Le forme indeterminate che puoi risolvere con Hopital sono $0/0$ e $infty/infty$
Io ho provato a risolverlo con gli sviluppi di McLaurin e fermarmi al terzo ordine il risultato mi viene $-infty$! Comunque penso che vada bene anche fermarsi al secondo ordine!
Io ho provato a risolverlo con gli sviluppi di McLaurin e fermarmi al terzo ordine il risultato mi viene $-infty$! Comunque penso che vada bene anche fermarsi al secondo ordine!
Un aiutino: puoi ottenere due limiti notevoli in quella funzione...
Io farei, d'acchito e con la conoscenza dei limiti notevoli, così:
$lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2*x^2/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2 = lim_(x \to 0) (ln(1-x))/(-x)*(-1/x)-sinx/x*1/x = lim_(x \to 0) -1/x-1/x = -oo$
MOD: avevo scritto il segno sbagliato
$lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2*x^2/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2 = lim_(x \to 0) (ln(1-x))/(-x)*(-1/x)-sinx/x*1/x = lim_(x \to 0) -1/x-1/x = -oo$
MOD: avevo scritto il segno sbagliato
Lord K, il limite è esatto. Hai dimenticato nel secondo passaggio soltanto $x^2/(sin^2x)$ da moltiplicare a $(ln(1-x)-sinx)/x^2$, come hai fatto nel passaggio precedente.
Comunque a seconda della direzione in cui ci si avvicina a 0 è $+-infty$
"Lord K":
Io farei, d'acchito e con la conoscenza dei limiti notevoli, così:
$lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2*x^2/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2 = lim_(x \to 0) (ln(1-x))/(-x)*(-1/x)-sinx/x*1/x = lim_(x \to 0) -1/x-1/x = -oo$
MOD: avevo scritto il segno sbagliato
Mi sa che l'ultimo passaggio porta a un limite indeterminato ^^
A me pare sia:
$lim_(x \to 0) -2/x = -oo$
$lim_(x \to 0) -2/x = -oo$
"Lord K":
A me pare sia:
$lim_(x \to 0) -2/x = -oo$
come è stato già detto questa cosa non è giusta! Il limite è diverso se x tende a 0 da destra o da sinistra, quindi per il teorema di unicità del limite tale limite non esiste.
"Feliciano":
[quote="Lord K"]A me pare sia:
$lim_(x \to 0) -2/x = -oo$
come è stato già detto questa cosa non è giusta! Il limite è diverso se x tende a 0 da destra o da sinistra, quindi per il teorema di unicità del limite tale limite non esiste.[/quote]
Oui, je suis d'acord
e cmq verrebbe $-oo-oo$ che è $-oo$. la forma indeterminata è $+oo-oo$
EDIT: scusate ma avevo considerato $Ln(1+x)$ e non $ln(1-x)$
mi metto al lavoro coi limiti notevoli!
mi metto al lavoro coi limiti notevoli!
certo ma saper ricondursi ai limiti notevoli è buona ginnastica mentale 
forse è meglio lasciare taylor per esercizi più hard
forse è meglio lasciare taylor per esercizi più hard
"Lord K":
Io farei, d'acchito e con la conoscenza dei limiti notevoli, così:
$lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2*x^2/(sin^2x) = lim_(x \to 0) (ln(1-x)-sinx)/x^2 = lim_(x \to 0) (ln(1-x))/(-x)*(-1/x)-sinx/x*1/x = lim_(x \to 0) -1/x-1/x = -oo$
Tutto esatto tranne l'ultimo passaggio
$lim_(x \to 0) -2/x$ NON ESISTE per quanto già detto sull'unicità del limite (infatti il limite destro è - infinito quello sinistro + infinito)
Quindi con una certa sicurezza possiamo finalmente concludere che il limite richiesto NON esiste (ps anche Derive ci dà ragionee anche sviluppando con Taylor si arriva all'espresione $-2/x$).
ciao,
penso il metodo più veloce e in questo caso abbastanza semplice sia svolgerlo con i relativi sviluppi di taylor.....
$log(1-x)=-x+o(x)$
$sinx=x+o(x)$
$cos^2x=1-x^2+0(x^2)$
$lim_(x->0)((-x+o(x)-x+o(x))/[1-(1-x^2+o(x^2))]$
$lim_(x->0)(-2x+o(x))/(x^2+o(x^2))=$ meno infinito
spero di essere stato di aiuto.
marco
penso il metodo più veloce e in questo caso abbastanza semplice sia svolgerlo con i relativi sviluppi di taylor.....
$log(1-x)=-x+o(x)$
$sinx=x+o(x)$
$cos^2x=1-x^2+0(x^2)$
$lim_(x->0)((-x+o(x)-x+o(x))/[1-(1-x^2+o(x^2))]$
$lim_(x->0)(-2x+o(x))/(x^2+o(x^2))=$ meno infinito
spero di essere stato di aiuto.
marco
scusate io sono il primo a premettere in ogni messaggio che sono solo uno studente e quindi dico di prendere ogni cosa che dico con una certa diffidenza, ma su una questione del genere non credo ci sia molto da dire.
Cioè penso tutti conosciamo il teorema di unicità del limite: se il limite esiste questo è unico; inoltre siamo tutti daccordo che per calcolare il limite io posso considerare un qualsiasi intorno di $x_0$; quindi unendo le due cose se io prendo un intorno sinistro di $x_0$ e poi un intorno destro di $x_0$ e mi ritrovo due limiti diversi, allora il limite NON ESISTE.
Nel caso specifico se io prendo un intorno destro di 0 (ovvero un "numero" moooooolto vicino a 0 ma comunque positivo) il limite di $1/x$ è + infinito (per convincersi si può fare la prova a calcolare $1/(10^(-1000000000))$). Viceversa se prendo un intorno sinistro (ovvero un "numero" molto vicino a zero ma comunque negativo) il limite di $1/x$ è - infinito (possiamo provare a calcolare $1/(-10^(-1000000000))$).
Se poi non vogliamo andare troppo per il sottile penso che il massimo che si può accettare è dire che il limite per x che tende a 0 di $1/x$ fa $+-oo$
Se nemmeno sono stato convincente ecco un grafico della funzione in oggetto
e uno della funzione 1/x
Cioè penso tutti conosciamo il teorema di unicità del limite: se il limite esiste questo è unico; inoltre siamo tutti daccordo che per calcolare il limite io posso considerare un qualsiasi intorno di $x_0$; quindi unendo le due cose se io prendo un intorno sinistro di $x_0$ e poi un intorno destro di $x_0$ e mi ritrovo due limiti diversi, allora il limite NON ESISTE.
Nel caso specifico se io prendo un intorno destro di 0 (ovvero un "numero" moooooolto vicino a 0 ma comunque positivo) il limite di $1/x$ è + infinito (per convincersi si può fare la prova a calcolare $1/(10^(-1000000000))$). Viceversa se prendo un intorno sinistro (ovvero un "numero" molto vicino a zero ma comunque negativo) il limite di $1/x$ è - infinito (possiamo provare a calcolare $1/(-10^(-1000000000))$).
Se poi non vogliamo andare troppo per il sottile penso che il massimo che si può accettare è dire che il limite per x che tende a 0 di $1/x$ fa $+-oo$
Se nemmeno sono stato convincente ecco un grafico della funzione in oggetto
e uno della funzione 1/x
"marco.surfing":
$lim_(x->0)(-2x+o(x))/(x^2+o(x^2))=$ meno infinito
marco
ciao scusa, approfitto per togliermi un dubbio.......$(o(x))/(o(x^2))$ quanto fa??
perchè esce $-infty$?? da quest'ultimo passaggio?? scusate l'ignoranza
..ciao
"marco.surfing":
ciao,
penso il metodo più veloce e in questo caso abbastanza semplice sia svolgerlo con i relativi sviluppi di taylor.....
$log(1-x)=-x+o(x)$
$sinx=x+o(x)$
$cos^2x=1-x^2+0(x^2)$
$lim_(x->0)((-x+o(x)-x+o(x))/[1-(1-x^2+o(x^2))]$
$lim_(x->0)(-2x+o(x))/(x^2+o(x^2))=$ meno infinito
spero di essere stato di aiuto.
marco
meno male che qualcuno è d'accordo con me
"clockover":
Comunque a seconda della direzione in cui ci si avvicina a 0 è $+-infty$
"clockover":
marco.surfing ha scritto:
ciao,
penso il metodo più veloce e in questo caso abbastanza semplice sia svolgerlo con i relativi sviluppi di taylor.....
log(1-x)=-x+o(x)
sinx=x+o(x)
cos2x=1-x2+0(x2)
limx→0(-x+o(x)-x+o(x)1-(1-x2+o(x2))
limx→0-2x+o(x)x2+o(x2)= meno infinito
spero di essere stato di aiuto.
marco
meno male che qualcuno è d'accordo con me
La cosa sta prendendo una strana piega. Mi quoto e mi tiro fuori dalla discussione
scusate io sono il primo a premettere in ogni messaggio che sono solo uno studente e quindi dico di prendere ogni cosa che dico con una certa diffidenza, ma su una questione del genere non credo ci sia molto da dire.
Cioè penso tutti conosciamo il teorema di unicità del limite: se il limite esiste questo è unico; inoltre siamo tutti daccordo che per calcolare il limite io posso considerare un qualsiasi intorno di x0; quindi unendo le due cose se io prendo un intorno sinistro di x0 e poi un intorno destro di x0 e mi ritrovo due limiti diversi, allora il limite NON ESISTE.
Nel caso specifico se io prendo un intorno destro di 0 (ovvero un "numero" moooooolto vicino a 0 ma comunque positivo) il limite di 1x è + infinito (per convincersi si può fare la prova a calcolare 110-1000000000). Viceversa se prendo un intorno sinistro (ovvero un "numero" molto vicino a zero ma comunque negativo) il limite di 1x è - infinito (possiamo provare a calcolare 1-10-1000000000).
Se poi non vogliamo andare troppo per il sottile penso che il massimo che si può accettare è dire che il limite per x che tende a 0 di 1x fa ±∞
Se nemmeno sono stato convincente ecco un grafico della funzione in oggetto
e uno della funzione 1/x
"clockover":
[quote="marco.surfing"]ciao,
penso il metodo più veloce e in questo caso abbastanza semplice sia svolgerlo con i relativi sviluppi di taylor.....
$log(1-x)=-x+o(x)$
$sinx=x+o(x)$
$cos^2x=1-x^2+0(x^2)$
$lim_(x->0)((-x+o(x)-x+o(x))/[1-(1-x^2+o(x^2))]$
$lim_(x->0)(-2x+o(x))/(x^2+o(x^2))=$ meno infinito
spero di essere stato di aiuto.
marco
meno male che qualcuno è d'accordo con me
[/quote]mi spieghi un po la cosa che ho chiesto a marco su??? grazie
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