Ecco un limite

[hastings1]

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)-\sin(x)}{1-cos^2x} $

Come si fa? È possibile farlo oppure il limite non esiste? Se non esiste come si fa a spiegarlo?
Grazie.

Io ho fatto questo
$= \lim_{x \to 0} \frac{ln(1-x)-\sin(x)}{sin^2x} = \lim_{x \to 0} (\frac{ln(1-x)}{sin^2x}-\frac{1}{sin x}) $

$ = +\infty -\infty $ che è una forma indeterminata

allora ho provato con de l'Hôpital:
$ lim_{x \to 0} \frac{f'}{g'}$

$f'= \frac{d[ ln(1-x) -sinx ]}{dx} =cos x -\frac{1}{1-x} $

$g'= \frac{d(sin^2x)}{dx}= -2cosx sin x$

$lim_{x \to 0} \frac{cos x -\frac{1}{1-x}}{-2cosx sin x}$

$= lim_{x \to 0} [- \frac{1}{2sinx} + \frac{1}{2(1-x)cosx sin x}]$

Così però non mi pare di aver risolto niente... help!

[Lord K]

$(o(x))/(o(x^2)) = o(1/x) = 1/(o(x)) $

Infatti:

Siano $f(x)=o(x) Rightarrow lim_(x \to 0) (f(x))/x = 1$ e sia $g(x)=o(x^2) Rightarrow lim_(x \to 0) (g(x))/x^2 = 1$

Allora:

$lim_(x \to 0) ((f(x))/(g(x)))/(1/x) = 1$

[Feliciano1]

"Lord K":$(o(x))/(o(x^2)) = o(1/x) = 1/(o(x)) $

Infatti:

Siano $f(x)=o(x) Rightarrow lim_(x \to 0) (f(x))/x = 1$ e sia $g(x)=o(x^2) Rightarrow lim_(x \to 0) (g(x))/x^2 = 1$

Allora:

$lim_(x \to 0) ((f(x))/(g(x)))/(1/x) = 1$

Io ci andrei più cauto. $f(x)=o(x)$ per definizione significa che $lim_(x \to 0) (f(x))/x=0$ ovvero significa che f(x) va a 0 (non a 1) più velocemente di x

[marco.surfing]

per mikelozzo:
mi viene difficile spiegarti questo argomento un pò delicato (non tutti amano i simboli di Landau a mio parere molto utili e semplificativi)

$(o(x))/(o(x^2))$ non ha un "risultato"; quando utilizzi gli sviluppi di Taylor ti resta un "pezzettino" della funzione più un $o(...)$ con lo stesso grado

per definizione di $o$ se raccogli il famoso "pezzettino" davanti all' $o$ ti resta x(1+ una funzione che tende a zero($o(1)$)); ed ecco come fanno a scomparire gli $o$.

la spiegazione non è sicuramente delle più esaurienti. ti consiglio di leggerti le proprietà degli $o$. oppure vieni su msn o skype e tramite videochiamata posso provare a spiegarti meglio a voce quello che non sono riuscito ad esporre in modo chiaro qui nel forum.

ciao,

marco

[hastings1]

Avendo aperto la discussione, mi permetto di dire che la soluzione è: "il limite non esiste". Io non sapevo come dimostrarlo. Adesso so che bisogna fare una serie di passaggi, ricordarsi di un paoi di limiti notevoli e infine giungere ad una forma che necessita di specificazione (limite sinistro e destro). Senza specificare da che parte ci si sta avvicinando a zero, l'unica risposta al problema, PER IL TEO. DELL'UNICITà DEL LIMITE, è che il limite non esiste.
Ok, grazie a tutti!

[marco.surfing]

ciao,
scusami hastings: dove sarebbe l'errore nella mia risoluzione del limite da te proposto?
io davvero non lo trovo......