Due teoremi sulle serie, sapete dove posso trovarli?

[Darèios89]

Mi servirebbero le dimostrazioni del criterio degli infinitesimi e il criterio per le serie a segni alterni ceh dice che se una serie è non decrescente, e almeno un termine è diverso da 0, allora essa è oscillante.

[Darèios89]

"Rigel":@guitarplaying:
tranquillo, dicendo "$|a_n|$ non decrescente" non hai sbagliato, perché così si dice sulla maggior parte dei libri.
La mia è un'osservazione di principio: siccome "non" si usa, sia in matematica che nel linguaggio comune, per negare ciò che segue, "non decrescente" può essere inteso come "che non è decrescente". Ma ciò che non è decrescente non è necessariamente crescente (in senso debole).
Insomma, sarebbe un po' come chiamare "non convesse" le funzioni concave...
Personalmente, preferisco parlare di funzioni crescenti (che per te sono non decrescenti) e strettamente crescenti.

Tornando al tuo problema, ti basta ripercorrere la dimostrazione del teorema di Leibniz per la serie $\sum_n (-1)^n b_n$, con $b_n \ge 0$, monotona crescente, con $b_0 > 0$.
Di conseguenza esiste $\lim_n b_n = B\ge b_0 >0$ per ipotesi (eventualmente $+\infty$).
Con queste ipotesi, però, la sottosuccessione $(s_{2k+1})$ delle somme parziali di posto dispari è monotona decrescente, mentre $(s_{2k})$ è monotona crescente. Inoltre
$\lim_k (s_{2k} - s_{2k-1}) = \lim_k b_{2k} = B > 0$;
le due sottosuccessioni convergono quindi a limiti diversi, dunque la successione $(s_n)$ non converge.

Vi ringrazio tutti per le risposte e perdonatemi con il ritardo con cui vi rispondo, però il fatto è che non riesco a capire perchè l'estratta diposto dispari è monotona decrescente mentre quella di posto pari è monotona crescente....mi sfugge questa cosa....