Due teoremi sulle serie, sapete dove posso trovarli?
Mi servirebbero le dimostrazioni del criterio degli infinitesimi e il criterio per le serie a segni alterni ceh dice che se una serie è non decrescente, e almeno un termine è diverso da 0, allora essa è oscillante.
Risposte
Per il criterio di confronto asintotico prova a guardare questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#366073
Mentre non si capisce cosa intendi con l'altra domanda. Una serie è "non decrescente" che significa?
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#366073
Mentre non si capisce cosa intendi con l'altra domanda. Una serie è "non decrescente" che significa?
Non mi riferisco al criterio del confronto, ma al criterio degli infinitesimi che è un altro.
Mi scuso, intendo una serie la cui successione delle somme parziali è non decrescente.
Mi scuso, intendo una serie la cui successione delle somme parziali è non decrescente.
"guitarplaying":Non è un altro, è un caso particolare del criterio del confronto asintotico in cui si confronta rispetto alle serie $sum_{n=1}^\infty 1/(n^alpha)$, il cui comportamento è noto per ogni $alpha >0$.
Non mi riferisco al criterio del confronto, ma al criterio degli infinitesimi che è un altro.
Si ho chiarito, sul libro leggendo e vedendo meglio degli appunti l'ho chiarito.
Però non riesco a trovare una dimostrazione per l'altro teorema che ho enunciato.
Se una serie è a segni alterni, e se |an| è non decrescente, allora la serie è oscillante
Però non riesco a trovare una dimostrazione per l'altro teorema che ho enunciato.
Se una serie è a segni alterni, e se |an| è non decrescente, allora la serie è oscillante
"guitarplaying":
Però non riesco a trovare una dimostrazione per l'altro teorema che ho enunciato.
Se una serie è a segni alterni, e se $|a_n|$ è non decrescente, allora la serie è oscillante
Non la trovi perchè il teorema è falso.
Per un controesempio, vedi qui.
@gugo:
credo ci sia stato un malinteso, dovuto al fatto che ci si ostina a chiamare "non decrescente" non ciò che non è decrescente, ma ciò che è crescente.
Se $|a_n|$ è crescente, vale a dire se $|a_{n+1}| \ge |a_n|$ per ogni $n$, e la serie è a termini di segno alterno, allora effettivamente la serie è oscillante (nel senso che non esiste il limite delle somme parziali).
credo ci sia stato un malinteso, dovuto al fatto che ci si ostina a chiamare "non decrescente" non ciò che non è decrescente, ma ciò che è crescente.
Se $|a_n|$ è crescente, vale a dire se $|a_{n+1}| \ge |a_n|$ per ogni $n$, e la serie è a termini di segno alterno, allora effettivamente la serie è oscillante (nel senso che non esiste il limite delle somme parziali).
Esatto, Rigel ci hai azzeccato, è quello il teorema a cui mi riferisco, mi servirebbe la dimostrazione.
Ma scusa, se dico che |an| è non decrescente...significa che è crescente, quindi era giusta l'espressione, mi sono sbagliato all'inizio del post.
Ma dire che |an| è crescente equivale a dire che la successione delle somme parziali è crescente?
Comunque mi servirebbe la dimostrazione di quel teorema.
Ma scusa, se dico che |an| è non decrescente...significa che è crescente, quindi era giusta l'espressione, mi sono sbagliato all'inizio del post.
Ma dire che |an| è crescente equivale a dire che la successione delle somme parziali è crescente?
Comunque mi servirebbe la dimostrazione di quel teorema.
@guitarplaying:
tranquillo, dicendo "$|a_n|$ non decrescente" non hai sbagliato, perché così si dice sulla maggior parte dei libri.
La mia è un'osservazione di principio: siccome "non" si usa, sia in matematica che nel linguaggio comune, per negare ciò che segue, "non decrescente" può essere inteso come "che non è decrescente". Ma ciò che non è decrescente non è necessariamente crescente (in senso debole).
Insomma, sarebbe un po' come chiamare "non convesse" le funzioni concave...
Personalmente, preferisco parlare di funzioni crescenti (che per te sono non decrescenti) e strettamente crescenti.
Tornando al tuo problema, ti basta ripercorrere la dimostrazione del teorema di Leibniz per la serie $\sum_n (-1)^n b_n$, con $b_n \ge 0$, monotona crescente, con $b_0 > 0$.
Di conseguenza esiste $\lim_n b_n = B\ge b_0 >0$ per ipotesi (eventualmente $+\infty$).
Con queste ipotesi, però, la sottosuccessione $(s_{2k+1})$ delle somme parziali di posto dispari è monotona decrescente, mentre $(s_{2k})$ è monotona crescente. Inoltre
$\lim_k (s_{2k} - s_{2k-1}) = \lim_k b_{2k} = B > 0$;
le due sottosuccessioni convergono quindi a limiti diversi, dunque la successione $(s_n)$ non converge.
tranquillo, dicendo "$|a_n|$ non decrescente" non hai sbagliato, perché così si dice sulla maggior parte dei libri.
La mia è un'osservazione di principio: siccome "non" si usa, sia in matematica che nel linguaggio comune, per negare ciò che segue, "non decrescente" può essere inteso come "che non è decrescente". Ma ciò che non è decrescente non è necessariamente crescente (in senso debole).
Insomma, sarebbe un po' come chiamare "non convesse" le funzioni concave...
Personalmente, preferisco parlare di funzioni crescenti (che per te sono non decrescenti) e strettamente crescenti.
Tornando al tuo problema, ti basta ripercorrere la dimostrazione del teorema di Leibniz per la serie $\sum_n (-1)^n b_n$, con $b_n \ge 0$, monotona crescente, con $b_0 > 0$.
Di conseguenza esiste $\lim_n b_n = B\ge b_0 >0$ per ipotesi (eventualmente $+\infty$).
Con queste ipotesi, però, la sottosuccessione $(s_{2k+1})$ delle somme parziali di posto dispari è monotona decrescente, mentre $(s_{2k})$ è monotona crescente. Inoltre
$\lim_k (s_{2k} - s_{2k-1}) = \lim_k b_{2k} = B > 0$;
le due sottosuccessioni convergono quindi a limiti diversi, dunque la successione $(s_n)$ non converge.
"Rigel":
@gugo:
credo ci sia stato un malinteso, dovuto al fatto che ci si ostina a chiamare "non decrescente" non ciò che non è decrescente, ma ciò che è crescente.
Il che non è un danno se si fa l'ipotesi di monotonia, ma che è evidentemente ambiguo se non la si fa.
Certamente, però anche nel caso tale ipotesi venga fatta secondo me è una perversione.
Allora, al posto di parlare di punto di minimo, si potrebbe parlare di punto di estremo non massimo, e chiamare punti di minimo solo quelli di minimo stretto.
E' vero che basta definire tutto in maniera non contraddittoria, però anche usare un linguaggio semplice può aiutare (dipenderà dal fatto che per decodificare le negazioni mi tocca usare entrambi i neuroni...).
Allora, al posto di parlare di punto di minimo, si potrebbe parlare di punto di estremo non massimo, e chiamare punti di minimo solo quelli di minimo stretto.
E' vero che basta definire tutto in maniera non contraddittoria, però anche usare un linguaggio semplice può aiutare (dipenderà dal fatto che per decodificare le negazioni mi tocca usare entrambi i neuroni...).
@Rigel 
Bisognerebbe fondare il club per la sparizione delle funzioni monotone non decrescenti.
Mi hanno perseguitato da piccolo (il libro di Cecconi Stampacchia, che era il libro di testo di Analisi I, adottato dal prof. Cecconi) ed ora ho un collega che usa questo obbrobrio.
Bisognerebbe fondare il club per la sparizione delle funzioni monotone non decrescenti.
Mi hanno perseguitato da piccolo (il libro di Cecconi Stampacchia, che era il libro di testo di Analisi I, adottato dal prof. Cecconi) ed ora ho un collega che usa questo obbrobrio.
Secondo me invece la terminologia che evita ogni ambiguità è proprio quella che usa il "non":
Es. $x$ non negativo ($x \geq 0$) e $x$ strettamente positivo ($x>0$).
Es. $x$ non negativo ($x \geq 0$) e $x$ strettamente positivo ($x>0$).
@FP & Rigel: In effetti anche io non sono un fan di questa nomenclatura (che pensavo di origine anglosassone), che però è molto diffusa; si usa in modo quasi standard quando si ha a che fare con funzioni monotone (ad esempio, le funzioni di distribuzione ed i riordinamenti) ed, in quel contesto, non è ambigua.
Tuttavia, fuori da quel contesto è il più delle volte inappropriata.
@Luca: Sì, sulla diversità tra "non negativo" e "positivo" sono d'accordo; ma la successione [tex]$a_n=1+(-1)^n$[/tex] come la classifichi?
Tuttavia, fuori da quel contesto è il più delle volte inappropriata.
@Luca: Sì, sulla diversità tra "non negativo" e "positivo" sono d'accordo; ma la successione [tex]$a_n=1+(-1)^n$[/tex] come la classifichi?
@Luca.Lussardi:
$x \in RR_{\ge}$, $x \in RR_{>}$, etc.
PS: "debolmente crescente"...
$x \in RR_{\ge}$, $x \in RR_{>}$, etc.
PS: "debolmente crescente"...
Per FP: l'uso del debole lo aborro anche io.
Per gugo82: la successione data non è monotona, ma è fatta da termini non negativi.
Per gugo82: la successione data non è monotona, ma è fatta da termini non negativi.
@Luca:
l'uso della negazione in un contesto binario va benissimo: quando dici che un numero reale è non negativo stai dicendo che non è negativo, non c'è nessuna ambiguità.
Quando dici che una successione è non decrescente, invece, tipicamente non intendi dire che non è decrescente.
l'uso della negazione in un contesto binario va benissimo: quando dici che un numero reale è non negativo stai dicendo che non è negativo, non c'è nessuna ambiguità.
Quando dici che una successione è non decrescente, invece, tipicamente non intendi dire che non è decrescente.
Credo che sia analogo... $f$ è non decrescente se $f(x)\le f(y)$ per ogni $x,y$ con $x
Nota: in inglese è comunque usato pressochè ovunque non-decreasing e strictly increasing; increasing è usato assai raramente.
Nota: in inglese è comunque usato pressochè ovunque non-decreasing e strictly increasing; increasing è usato assai raramente.
"Luca.Lussardi":
Per gugo82: la successione data non è monotona [...]
"Rigel":
@Luca:
l'uso della negazione in un contesto binario va benissimo: quando dici che un numero reale è non negativo stai dicendo che non è negativo, non c'è nessuna ambiguità.
Quando dici che una successione è non decrescente, invece, tipicamente non intendi dire che non è decrescente.
Moralmente concordo con Rigel.
Però torno a dire che l'ipotesi di monotonia è indispensabile (e va comunque esplicitata) se si vuole l'equivalenza tra "non decrescenza" e "crescenza".
In altri termini, secondo me dire "successione/funzione non decrescente" non ha molto senso; mentre ne ha dire "successione/funzione monotona non decrescente".
Sul fatto di specificare il termine monotona sono d'accordo, anche se in inglese non è mai usato.
Sono d'accordo con te sul fatto che spesso la consuetudine fa più della ragionevolezza.
Questo, in matematica, accade spesso (e non genera particolari sconvolgimenti).
Però questa cosa del "non crescente" - "non decrescente" non mi è mai andata giù...
Questo, in matematica, accade spesso (e non genera particolari sconvolgimenti).
Però questa cosa del "non crescente" - "non decrescente" non mi è mai andata giù...
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