Due integrali (molto) semplice

Carmine_XX
Salve a tutti,
Ho cominciato da pochissimo a studiare gli integrali, e se alcuni mi vengono abbastanza facili (ad esempio le razionali fratte, dove di per se vi sono tutti procedimenti meccanici), altri, tra cui anche alcuni immediati, non riesco a capire di preciso il metodo.

Ad esempio, questi due integrali immediati, molto semplici, come vanno risolti?

$\int sin(2x) dx$

E

$\int e^(sinx)cosx dx$
?

Ho le soluzioni (-1/2cos2x + c e e^(senx) + c), ma non capisco il metodo per arrivarci. Ad occhio, mi viene da pensare a due sostituzioni (2x nel primo e sinx nel secondo), ma essendo due integrali immediati, non è che c'è un metodo ben più semplice?

Grazie a tutti in anticipo,

Risposte
dissonance
No, è così che si fanno: una sostituzione e diventano integrali immediati. Chiaro che un esperto riesce a fare la sostituzione a mente, e quindi te li fa sembrare immediati, ma se perdi 3 secondi a scrivere esplicitamente il cambiamento di variabile non casca mica il mondo.

gugo82
Si chiamano integrali immediati quelli che si ottengono invertendo le formule di derivazione.

Ad esempio, sai che:
\[
e^{f(x)}\ \stackrel{\frac{\text{d}}{\text{d} x}}{\rightarrow} \ e^{f(x)}\ f^\prime (x)
\]
quindi la corrispondente formula di integrazione immediata è:
\[
e^{f(x)}\ f^\prime (x) \ \stackrel{\int \cdots \text{d} x}{\rightarrow} \ e^{f(x)} +C\; .
\]
Io cercherei di applicare questa formula al calcolo del secondo integrale...

paolotesla91
Ciao Carmine! Guarda il mio prof al liceo mi ha insegnato a ragionare con gli integrali in questo modo: in un integrale devi sempre avere la funzione integranda e la sua derivata, dunque per quanto riguarda

$int_()^() sin(2x) $

si ha che $int_()^() sin(2x)=-1/2int_()^()-2sin(2x)=-cos(2x)/2$.

Capito? :)

Mentre per il secondo va bene anche la formula che ti ha consigliato gugo :D ma l'importante è che tu capisca il ragionamento!

Carmine_XX
Riguardo il secondo ho capito bene, quindi sostanzialmente devo soltanto ricondurmi all'integrale immediato ragionando semplicemente sulla derivata.

Il primo invece credo di aver capito, ma non mi sembra tanto immediata come soluzione, anche se penso sia solo perché mi manca ancora molta manualità di calcolo nel fare esercizi.
Ma, se fosse invece un qualcosa del tipo:

$\int sen(cos(x))dx$

O in generale

$\int f(g(x))dx$

?

paolotesla91
potresti provare per sostituzione! non so..in questo momento non mi vengono in mente altre idee

DavideGenova1
Guarda: io ho cominciato ad occuparmi di "scienze matematiche, fisiche e naturali" da un anno, venendo dal classico. All'inizio a mente calcolavo al massimo le tabelline pitagoriche :lol: , ma abituandosi ad eseguire un certo calcolo scrivendo, mi sono accorto che si finisce spesso per essere in grado di farlo a mente, un po' come scrivendosi su una lavagna mentale i calcoli (io immagino proprio le cose scritte davanti a me).
Venendo alla tua ultima domanda, sai che \(\int f(g(x))g'(x)\text{d}x=\int f(g)\text{d}g \), ma \(\int f(g(x))\text{d}x\) non è sempre facilmente risolvibile, infatti \(\int \text{sin}(\text{cos}x)\text{d}x\) non è esprimibile in termini di funzioni elementari...
Ciao!!!

Carmine_XX
(chiedo scusa per la lenta risposta)
Comunque, ho visto che tutti i vari integrali che non riuscivo a fare "mentalmente", con la sostituzione diventano integrali molto facili, per quanto ci voglia più tempo.

Ho un dubbio però riguardo quest'integrale, che l'eserciziario riporta come "immediato", mentre a me viene in mente solo di sostituire sqrt(x) = t.

$\int (sqrt(x)(x+5)+9)/x dx\$

Cosa mi sfugge?

StefanoMDj
"Carmine_XX":
(chiedo scusa per la lenta risposta)
Comunque, ho visto che tutti i vari integrali che non riuscivo a fare "mentalmente", con la sostituzione diventano integrali molto facili, per quanto ci voglia più tempo.

Ho un dubbio però riguardo quest'integrale, che l'eserciziario riporta come "immediato", mentre a me viene in mente solo di sostituire sqrt(x) = t.

$\int (sqrt(x)(x+5)+9)/x dx\$

Cosa mi sfugge?


ti sfugge il fatto che l'integrale è un operatore lineare :D
quindi puoi scomporre questo integrale "unico" in tre integrali....ti faccio un esempio tu prova ad applicarlo

$\int (ax+bx) dx\$ = $\int (ax) dx\$ + $\int (bx) dx\$

Carmine_XX
"StefanoMDj":

ti sfugge il fatto che l'integrale è un operatore lineare :D
quindi puoi scomporre questo integrale "unico" in tre integrali....ti faccio un esempio tu prova ad applicarlo

$\int (ax+bx) dx\$ = $\int (ax) dx\$ + $\int (bx) dx\$

Giusto! Avevo provato a spezzarlo in due integrali, ma non pensavo invece fosse ancora più semplice svolgere il prodotto tra la radice e il polinomio e dividere ulteriormente.
Grazie!

Carmine_XX
Ora sono arrivato ad un punto dove mi sono bloccato, in quanto non mi è molto chiaro cosa cambia quando nella sostituzione si lascia la derivata di g(x) sostituito a destra o a sinistra del dx.
Ad esempio:

$\int (e^(2x)+e^x)/(e^(2x)+1) dx \$

Sostituisco t = e^x; e quindi x = e^t. Non ha senso però fare dx = e^t dt; perché non aiuta ad integrare, ed arrivo al punto:
$\int (t^2 + t)/(t^2 + 1) e^t dt \$.
Cosa sbaglio?

StefanoMDj
qual'è la funzione inversa dell'esponenziale? 0_0
se lo vede qualche moderatore ti bannano dal forum xD

ciampax
Se $t=e^x$ allora $x=\log t$: che diavolo hai scritto? :-D

Carmine_XX
Ehm, giusto xD Ho trascritto male, ovvio che è x = lnt.
Il risultato è comunque lo stesso, come faccio ad integrare:
$\int (t^2+t)/(t^2+1) 1/t dt \$
?

ciampax
Integrazione di funzioni razionali fratte: mai sentito?

Carmine_XX
"Carmine_XX":
Ehm, giusto xD Ho trascritto male, ovvio che è x = lnt.
Il risultato è comunque lo stesso, come faccio ad integrare:
$\int (t^2+t)/(t^2+1) 1/t dt \$
?

Mi sono accorto ora di aver fatto una confusione assurda. Semplificando opportunamente si arriva a:
$\int t/(t^2+1) dt + int 1/(t^2+1) dt \$.

Rimane però la domanda, e cioè, quando conviene tenere la derivata a sinistra del dx, e quando a destra del dt?
Ad esempio: e^x dx = dt; lasciando l'e^x al dx senza esplicitarne la x.

ciampax
"Carmine_XX":
[quote="Carmine_XX"]

Rimane però la domanda, e cioè, quando conviene tenere la derivata a sinistra del dx, e quando a destra del dt?
Ad esempio: e^x dx = dt; lasciando l'e^x al dx senza esplicitarne la x.
[/quote]

Perdona la franchezza ma: WTF?????? Sinceramente non ho capito cosa vuoi dire! :-D

Carmine_XX
"ciampax":
[quote="Carmine_XX"][quote="Carmine_XX"]

Rimane però la domanda, e cioè, quando conviene tenere la derivata a sinistra del dx, e quando a destra del dt?
Ad esempio: e^x dx = dt; lasciando l'e^x al dx senza esplicitarne la x.
[/quote]

Perdona la franchezza ma: WTF?????? Sinceramente non ho capito cosa vuoi dire! :-D[/quote]
Credo di essermi spiegato malissimo (anche perché mi sa che è a causa del fatto che non ho capito bene come funziona tale metodo):
Praticamente, ho visto che non sempre è necessario esplicitare la x, quindi derivare la funzione risultante, e quindi calcolare il dt come:
dx = f'(x) dt;
Ma è anche possibile lasciarlo a sinistra del dt, come:
f'(x) dx = dt.
O, come è probabile, ho capito malissimo io?

ciampax
Ah, ecco, ora è più chiaro. Diciamo che dipende da caso a caso (io, per esempio, raramente esplicito la $x$ a meno che la cosa non risulti più semplice). In questo caso come vedi, anche senza esplicitare da $e^x=t$ trovi $e^x\ dx=dt$ e quindi $dx={dt}/{e^x}={dt}/t$

Carmine_XX
"ciampax":
Ah, ecco, ora è più chiaro. Diciamo che dipende da caso a caso (io, per esempio, raramente esplicito la $x$ a meno che la cosa non risulti più semplice). In questo caso come vedi, anche senza esplicitare da $e^x=t$ trovi $e^x\ dx=dt$ e quindi $dx={dt}/{e^x}={dt}/t$

Quando faccio così, però, se invece di e^x, che derivato rimane identico, fosse stata una qualsiasi altra funzione?
Quando arrivo al punto:
$f'(x) dx = dt$ come esplicito il dt?

ciampax
Quelli sono i casi in cui conviene espliciatre la $x$, \ppunto! :-D

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