Due integrali impropri
Salve, volevo sapere se ho risolto correttamente i seguenti due esercizi:
Determinare per qualche $\alpha \in \mathbb{R}$ gli integrali $\int_{0}^{+oo} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha}$ e $\int_{0}^{+oo}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha}$ convergono.
L'integrale non presenta problemi in nessun punto interno a $[0, +oo[$ poiché $arctg(x)$ è definita in tutto $\mathbb{R}$, quindi c'è da valutare il comportamento dell'integrale quando l'estremo superiore di integrazione tende a più infinito.
Sia $c > 0$, $\int_{0}^{+oo} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha} = \int_{0}^{c} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha} + \int_{c}^{+oo} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha}$, il primo integrale converge perché $pi/2 - arctg(x)$ è continua in $[0, c]$, per quanto riguarda il secondo integrale vale che $arctgx + arctg(1/x) = pi/2$ da cui $arctg(1/x) = \pi/2 - arctg(x)$ e $arctg(1/x) = pi/2 - arctg(x) > 0$ perché $arctg(x) < \pi/2$, applico il confronto asintotico: $arctg(1/x)^{\alpha}$ è asintotico a $1/x^{\alpha}$ per $x \to +oo$, quindi per il criterio gli integrali $\int_{c}^{+oo} arctg(1/x)^{\alpha}$ e $\int_{c}^{+oo} 1/x^{\alpha}$ hanno lo stesso comportamento e $\int_{c}^{+oo} 1/x^{\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$
Passiamo al secondo integrale, procedo come sopra:
$\int_{0}^{+oo}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} = \int_{0}^{c}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} + \int_{c}^{+oo}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} = \int_{0}^{c}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} + \int_{c}^{+oo}(arctg(1/x) - 1/x)^{\alpha}$
Adesso: $|(pi/2-arctg(x) - 1/x)^(\alpha)|$ è asintotico a $1/x^{\alpha}$ per $x \to 0^+$, mentre $|(arctg(1/x) - 1/x)^{\alpha}|$ è asintotico a $1/(3x^(3\alpha))$ per $x \to +oo$, quindi il primo addendo converge se $\alpha < 1$, mentre il secondo converge se $\alpha > 1/3$ , quindi l'integrale converge per $1/3 < \alpha < 1$
Grazie
Determinare per qualche $\alpha \in \mathbb{R}$ gli integrali $\int_{0}^{+oo} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha}$ e $\int_{0}^{+oo}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha}$ convergono.
L'integrale non presenta problemi in nessun punto interno a $[0, +oo[$ poiché $arctg(x)$ è definita in tutto $\mathbb{R}$, quindi c'è da valutare il comportamento dell'integrale quando l'estremo superiore di integrazione tende a più infinito.
Sia $c > 0$, $\int_{0}^{+oo} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha} = \int_{0}^{c} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha} + \int_{c}^{+oo} (pi/2 - arctg(x))^{\alpha}$, il primo integrale converge perché $pi/2 - arctg(x)$ è continua in $[0, c]$, per quanto riguarda il secondo integrale vale che $arctgx + arctg(1/x) = pi/2$ da cui $arctg(1/x) = \pi/2 - arctg(x)$ e $arctg(1/x) = pi/2 - arctg(x) > 0$ perché $arctg(x) < \pi/2$, applico il confronto asintotico: $arctg(1/x)^{\alpha}$ è asintotico a $1/x^{\alpha}$ per $x \to +oo$, quindi per il criterio gli integrali $\int_{c}^{+oo} arctg(1/x)^{\alpha}$ e $\int_{c}^{+oo} 1/x^{\alpha}$ hanno lo stesso comportamento e $\int_{c}^{+oo} 1/x^{\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$
Passiamo al secondo integrale, procedo come sopra:
$\int_{0}^{+oo}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} = \int_{0}^{c}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} + \int_{c}^{+oo}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} = \int_{0}^{c}( pi/2 - arctg(x) - 1/x)^{\alpha} + \int_{c}^{+oo}(arctg(1/x) - 1/x)^{\alpha}$
Adesso: $|(pi/2-arctg(x) - 1/x)^(\alpha)|$ è asintotico a $1/x^{\alpha}$ per $x \to 0^+$, mentre $|(arctg(1/x) - 1/x)^{\alpha}|$ è asintotico a $1/(3x^(3\alpha))$ per $x \to +oo$, quindi il primo addendo converge se $\alpha < 1$, mentre il secondo converge se $\alpha > 1/3$ , quindi l'integrale converge per $1/3 < \alpha < 1$
Grazie
Risposte
Mi pare che torni.
mi sembrano corretti! 
edit: scrivevo in contemporanea a ciampax
edit: scrivevo in contemporanea a ciampax
"cooper":
mi sembrano corretti!
edit: scrivevo in contemporanea a ciampax
Mi stai pedinando?????
ahah sembrerebbe ma no e poi in quel caso sarei mooolto più elusivo 
e poi in quel caso sarei mooolto più elusivo
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