Due esercizi sulle successioni
Buonasera a tutti avevo alcuni dubbi su questi due esercizi di successioni non sapendo se i metodi e le dimostrazioni usate sono rigorose oppure no, quindi se voi aveste qualche idea migliore o semplicemente più rigorosa ve ne sarei grato. I due esercizi sono:
1) Sia ${a_n}$ una successione limitata e $a_n!=0$, $ AAn in NN$. dire se esiste il limite $\lim_{n \to \infty}a_n/(n+1)$.
Ho ragionato così: per def di successione limitata $EEM>0: AAn in NN, |a_n|
Posso allora dividere per $n+1>0 , AAn in NN$ e viene $-M/(n+1)
dire che $ +-M/(n+1) to 0$ considerare quindi un $epsilon=M/(n+1)>0$ e quindi dire $-epsilon
definizione di limite per $a_n/(n+1)$ per $AAn>n_epsilon$.
2)Siano $A,B in RR$ e $a_n=n^2+An+B$. Quali sono le condizioni di A e B affinché la successione sia monotona?
Ho ragionato solo per la crescenza ritenendo la decrescenza dimostrabile allo stesso modo. Parto da $n_2>n_1$. Per la
proprietà delle disequazioni è lecito scrivere $n_2^2>n_1^2"$. Ora volendo aggiungere $nA$ da entrambe i lati devo avere
l'accortezza di mettere $A>=0$ per far permanere il verso della disuguaglianza. Ottengo: $n_2^2+An_2>n_1^2+An_1$. Per
concludere posso aggiungere $AABinRR$ a entrambe i lati senza stravolgere nulla e ottengo:
$n_2^2+An_2+B>n_1^2+An_1+B$ per $A>=0$ e $AABinRR$
1) Sia ${a_n}$ una successione limitata e $a_n!=0$, $ AAn in NN$. dire se esiste il limite $\lim_{n \to \infty}a_n/(n+1)$.
Ho ragionato così: per def di successione limitata $EEM>0: AAn in NN, |a_n|
Posso allora dividere per $n+1>0 , AAn in NN$ e viene $-M/(n+1)
dire che $ +-M/(n+1) to 0$ considerare quindi un $epsilon=M/(n+1)>0$ e quindi dire $-epsilon
definizione di limite per $a_n/(n+1)$ per $AAn>n_epsilon$.
2)Siano $A,B in RR$ e $a_n=n^2+An+B$. Quali sono le condizioni di A e B affinché la successione sia monotona?
Ho ragionato solo per la crescenza ritenendo la decrescenza dimostrabile allo stesso modo. Parto da $n_2>n_1$. Per la
proprietà delle disequazioni è lecito scrivere $n_2^2>n_1^2"$. Ora volendo aggiungere $nA$ da entrambe i lati devo avere
l'accortezza di mettere $A>=0$ per far permanere il verso della disuguaglianza. Ottengo: $n_2^2+An_2>n_1^2+An_1$. Per
concludere posso aggiungere $AABinRR$ a entrambe i lati senza stravolgere nulla e ottengo:
$n_2^2+An_2+B>n_1^2+An_1+B$ per $A>=0$ e $AABinRR$
Risposte
Premesso che le cose che faccio io di solito non sono affatto rigorose, c'è qualcosa che si può migliorare nel 2).
E' un cavillo che interessa i primi due termini e permettere di estendere l'intervallo a da $A\ge 0$ a $A\ge-1$.
Comunque non capisco perchè scrivi $n_2 > n_1$. La condizione necessaria è che per ogni n $(n+1)^2+A(n+1)+B >n^2+An+B$.
Cioè mi sembra di capire che tu prendi due generici punti, ma è necessario confrontare i punti vicini a due a due, poi per induzione si estende a tutti i numeri.
Come hai già visto di $B$ non interessa nulla, quindi riscriviamo $(n+1)^2+A(n+1) >n^2+An$, e ancora $(n+1)^2-n^2 > -A$
Di quell'espressione a sinistra $(n+1)^2-n^2$ cerco il caso peggiore, cioè il minimo. Non ci vuole molto a vedere che ad es. $41^2-40^2$ è più grande di $40^2-39^2$ per cui vado a cercare numeri piccoli, e in pratica vado a prendere i più piccoli, 1 e 0. Quindi $n=0$ e allora avrò $1 \ge-A$, cioè $A \ge -1$.
Se la successione non parte da 0 ma da $n_0$ trovi un A diverso, ma comunque negativo.
Poi dovresti aggiungere delle considerazioni se deve essere solo monotona o strettamente monotona.
Poi se vuoi si può anche fare una considerazione simpatica per prendere in un colpo solo sia le crescenti che le decrescenti, cioè che sia monotona.
E' un cavillo che interessa i primi due termini e permettere di estendere l'intervallo a da $A\ge 0$ a $A\ge-1$.
Comunque non capisco perchè scrivi $n_2 > n_1$. La condizione necessaria è che per ogni n $(n+1)^2+A(n+1)+B >n^2+An+B$.
Cioè mi sembra di capire che tu prendi due generici punti, ma è necessario confrontare i punti vicini a due a due, poi per induzione si estende a tutti i numeri.
Come hai già visto di $B$ non interessa nulla, quindi riscriviamo $(n+1)^2+A(n+1) >n^2+An$, e ancora $(n+1)^2-n^2 > -A$
Di quell'espressione a sinistra $(n+1)^2-n^2$ cerco il caso peggiore, cioè il minimo. Non ci vuole molto a vedere che ad es. $41^2-40^2$ è più grande di $40^2-39^2$ per cui vado a cercare numeri piccoli, e in pratica vado a prendere i più piccoli, 1 e 0. Quindi $n=0$ e allora avrò $1 \ge-A$, cioè $A \ge -1$.
Se la successione non parte da 0 ma da $n_0$ trovi un A diverso, ma comunque negativo.
Poi dovresti aggiungere delle considerazioni se deve essere solo monotona o strettamente monotona.
Poi se vuoi si può anche fare una considerazione simpatica per prendere in un colpo solo sia le crescenti che le decrescenti, cioè che sia monotona.
no, per n1 e n2 ho usato la definizione di successione monotona: $a_n$ è strettamente crescente $Leftrightarrow$ presi
$ AA n_2>n_1 in NN Rightarrow a_2>a_1 $ e quindi non capisco perché ho sbagliato seppure la tua è evidentemente giusta
$ AA n_2>n_1 in NN Rightarrow a_2>a_1 $ e quindi non capisco perché ho sbagliato seppure la tua è evidentemente giusta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo