Due equazioni differenziali del secondo ordine.
Ho dei dubbi su 2 equazioni differenziali:
1- ${(y''+y'-2y=0),(y(0)=3),(y'(0)=1):}$
Procedendo si arriva a: ${(y'(t)=c_1e^(-2t)+c_2e^t),(y'(t)=c_1(-2e^(-2t))+c_2e^t):}$
Ora con y(0)=3 e y'(0)=1 ho $c_1=2$ e $c_2=5$ dunque la soluzione dovrebbe essere $y(t)=2e^(-2t)+5e^t$ ma sul libro dal quale ho preso l'esercizio sembra essere $y(t)=2e^(-2t)+e^t$ che mi darebbe $c_2=1$. Mi sembra strano fare tutto giusto tranne un dato visto che tutti ogni singolo risultato dipende dagli altri, c'è qualcosa che non ho preso in considerazione?
2- ${(y'+-25y=0),(y(0)=10),(y'(0)=10):}$
$\Delta = -100$ quindi la soluzione $\lambda$ sarà data da $\alpha+-i\beta$ però non ho esperienza con i numeri complessi e non so come trovare $\alpha$ e $\beta$ che mi servono visto che le soluzioni sono definite da $y_1(t)=e^(\alpha t)cos\betat$ e $y_2(t)=e^(\alpha t)sin\betat$ e ho quindi bisogno di distinguere i due valori $\alpha$ e $\beta$.
1- ${(y''+y'-2y=0),(y(0)=3),(y'(0)=1):}$
Procedendo si arriva a: ${(y'(t)=c_1e^(-2t)+c_2e^t),(y'(t)=c_1(-2e^(-2t))+c_2e^t):}$
Ora con y(0)=3 e y'(0)=1 ho $c_1=2$ e $c_2=5$ dunque la soluzione dovrebbe essere $y(t)=2e^(-2t)+5e^t$ ma sul libro dal quale ho preso l'esercizio sembra essere $y(t)=2e^(-2t)+e^t$ che mi darebbe $c_2=1$. Mi sembra strano fare tutto giusto tranne un dato visto che tutti ogni singolo risultato dipende dagli altri, c'è qualcosa che non ho preso in considerazione?
2- ${(y'+-25y=0),(y(0)=10),(y'(0)=10):}$
$\Delta = -100$ quindi la soluzione $\lambda$ sarà data da $\alpha+-i\beta$ però non ho esperienza con i numeri complessi e non so come trovare $\alpha$ e $\beta$ che mi servono visto che le soluzioni sono definite da $y_1(t)=e^(\alpha t)cos\betat$ e $y_2(t)=e^(\alpha t)sin\betat$ e ho quindi bisogno di distinguere i due valori $\alpha$ e $\beta$.
Risposte
Ho risolto il secondo punto infatti risultava $\lambda = 0 +- 5i$ dunque $\alpha = 0$ e $\beta = 5$. La soluzione è dunque $y(t) = 10cos5t+2sin5t$
Sul primo persiste il dubbio. L'ho rifatto ma il risultato resta quello
Sul primo persiste il dubbio. L'ho rifatto ma il risultato resta quello
Prima equazione : nè la tua soluzione nè quella del libro rispettano le condizioni iniziali ....
"Camillo":
Prima equazione : nè la tua soluzione nè quella del libro rispettano le condizioni iniziali ....
L'ho notato. E quale sarebbe il risultato giusto?
Il risultato corretto è : $ y=(2/3)e^(-2t)+(7/3)e^t $ , prova a rifare il conti .
"Camillo":
Il risultato corretto è : $ y=(2/3)e^(-2t)+(7/3)e^t $ , prova a rifare il conti .
Uh mamma, che gaffe. Ho fatto confusione con i segni. Anche gli autori del libro però non scherzano. Grazie dell'aiuto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo