Dubbio teorico max e min in due variabili
ciao a tutti,
ho un dubbio.. in base a Test per la derivata seconda[wikipedia]
Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico non degenere x:
se l'hessiana è una matrice definita positiva in x, allora f ha un minimo locale in x;
se l'hessiana è una matrice definita negativa in x, allora f ha un massimo locale in x;
se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora x è un punto di sella per f.
so che si dimostra con passaggi algebrici.. volevo sapere se è possibile dare una spiegazione qualitativa del fatto che, ad esempio, se l'hessiana è una matrice definita positiva in x, allora f ha un minimo locale in x.. chiedo ciò perchè credo che mi possa aiutare un bel po', dato che sono parecchio arrugginito in algebra e molti passaggi non riesco a capirli..
un grazie a chi mi darà una mano
ho un dubbio.. in base a Test per la derivata seconda[wikipedia]
Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico non degenere x:
se l'hessiana è una matrice definita positiva in x, allora f ha un minimo locale in x;
se l'hessiana è una matrice definita negativa in x, allora f ha un massimo locale in x;
se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora x è un punto di sella per f.
so che si dimostra con passaggi algebrici.. volevo sapere se è possibile dare una spiegazione qualitativa del fatto che, ad esempio, se l'hessiana è una matrice definita positiva in x, allora f ha un minimo locale in x.. chiedo ciò perchè credo che mi possa aiutare un bel po', dato che sono parecchio arrugginito in algebra e molti passaggi non riesco a capirli..
un grazie a chi mi darà una mano
Risposte
cos'è che non capisci?..come stabilire se la matrice hessiana è definita positiva o no?..
ti faccio un esempio.. prendo questa matrice \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 2 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)
ti dico che la matrice è definita positiva, cioè i suoi minori di Nord-Ovest sono tutti positivi!
Quali sono i minori di Nord-Ovest?.. semplice..
\( \det\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 2 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3 \end{pmatrix}=\frac{3}{4} >0 \)
poi \( \det\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 2 \end{pmatrix}=\frac{7}{4}>0 \) ed infine $ a_(11)=1>0 $
invece, quest'altra matrice \( B=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1 & -3 \\ 3/2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)
è una matrice indefinita
perché la catena dei segni dei minori di Nord-Ovest NON è \( +++ \) né \( -+- \)
Esercizio: calcola i minori di Nord-Ovest e vedi che è così..
[ot]in alternativa, una matrice è definita positiva, se tutti i suoi autovalori sono positivi..[/ot]
ti faccio un esempio.. prendo questa matrice \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 2 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)
ti dico che la matrice è definita positiva, cioè i suoi minori di Nord-Ovest sono tutti positivi!
Quali sono i minori di Nord-Ovest?.. semplice..
\( \det\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 2 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3 \end{pmatrix}=\frac{3}{4} >0 \)
poi \( \det\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 2 \end{pmatrix}=\frac{7}{4}>0 \) ed infine $ a_(11)=1>0 $
invece, quest'altra matrice \( B=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1 & -3 \\ 3/2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)
è una matrice indefinita
perché la catena dei segni dei minori di Nord-Ovest NON è \( +++ \) né \( -+- \)
Esercizio: calcola i minori di Nord-Ovest e vedi che è così..
[ot]in alternativa, una matrice è definita positiva, se tutti i suoi autovalori sono positivi..[/ot]
@21zuclo: Non credo sia questa la domanda. Penso che l'OP cerchi piuttosto un metodo grafico per ricordare la corrispondenza tra il segno della matrice Hessiana e la natura (max/min) di un punto critico:
viewtopic.php?p=298622#p298622
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