Dubbio teorico integrali curvilinei

[Dema19]

Ciao a tutti, ho un grande dubbio sugli integrali curvilinei, spero nel vostro aiuto

Se ho $\int_\gamma (x+y) ds$, dove $\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2\cup\gamma_3$, vado a parametrizzare le tre curve, quindi calcolo il mio integrale così:

$\int_\gamma (x+y) ds=\int_{\gamma_1} f(x_1(t),y_1(t))* |r'_1(t)| dt+\int_{\gamma_2} f(x_2(t),y_2(t))* |r'_2(t)| dt+\int_{\gamma_3} f(x_3(t),y_3(t))* |r'_3(t)| dt$

E' corretto così?

[Studente Anonimo]

Certamente. Si tratta della definizione di integrale curvilineo su una curva non orientata, quello che si utilizza per calcolare la massa di un corpo filiforme conoscendone la densità lineare.

[Dema19]

Perfetto, grazie! Mentre se avessi $\int_gamma x^2 dx + xydy$ lungo la curva $\gamma$ di rappresentazione parametrica $r(t)=(t^2,t); t\in [-1,1]$ devo semplicemente considerare che $x'(t)=2t, y'(t)=1$, quindi alla fine svolgo quest'integrale:

$\int_{-1}^1 t^4*2t dt+t^3*1 dt$

Ps: il risultato mi viene 0, è possibile? La risoluzione mi sembra troppo semplice

[Studente Anonimo]

Quest'ultimo rientra nella definizione di integrale curvilineo su una curva orientata, quello che si utilizza per calcolare il lavoro di una forza. Hai ragione, il valore è nullo.

[Dema19]

Grazie ancora