Dubbio sulla funzione integrale
Mi viene chiesto se
$ F(x)=int_(0)^(sqrt(x) ) [e^(t^(4))-1] dt $
assume
a)un min e un max relativi b)solo max relativo c)solo min relativo d)non ammette mai ne min ne max relativi e)nessuna delle precedenti
Ragiono così se la funzione ammette min/max la sua derivata si annulla, la derivata di $F'(x)=f(x)$ cioè l'esponenziale che segue l'andamento della funzione per cui è elevato, cio $t^4$ e si comporta come una parabola, che ha quindi un minimo.
Non sono convinto però riguardo gli estremi dell'integrazione. Cioè, poichè derivo una funzione integrale come devo considerarli? Come l'intervallo preso in considerazione nello studio della funzione derivata?
Oppure devo calcolare la funzione integrale in quell'intervallo e poi derivarla, cioè derivare $D[F(sqrt(x)) -F(0)]$?
Se anzichè $sqrt(x)$ avessi avuto un valore finito avrei potuto semplicemente applicare il teorema di Weierstrass e rispondere semplicemente E)?
$ F(x)=int_(0)^(sqrt(x) ) [e^(t^(4))-1] dt $
assume
a)un min e un max relativi b)solo max relativo c)solo min relativo d)non ammette mai ne min ne max relativi e)nessuna delle precedenti
Ragiono così se la funzione ammette min/max la sua derivata si annulla, la derivata di $F'(x)=f(x)$ cioè l'esponenziale che segue l'andamento della funzione per cui è elevato, cio $t^4$ e si comporta come una parabola, che ha quindi un minimo.
Non sono convinto però riguardo gli estremi dell'integrazione. Cioè, poichè derivo una funzione integrale come devo considerarli? Come l'intervallo preso in considerazione nello studio della funzione derivata?
Oppure devo calcolare la funzione integrale in quell'intervallo e poi derivarla, cioè derivare $D[F(sqrt(x)) -F(0)]$?
Se anzichè $sqrt(x)$ avessi avuto un valore finito avrei potuto semplicemente applicare il teorema di Weierstrass e rispondere semplicemente E)?
Risposte
Ciao!
Se al posto di $sqrt(x)$ avessi avuto un numero(chiamiamolo $a$,percomodità),
la tua funzione integranda sarebbe stata continua in $[0,a]$
(perchè lo è addirittura in tutto $RR$..)
e dunque per una nota cond sufficiente sarebbe stata integrabile secondo Riemann(usi questa misura?):
la F sarebbe allora stata costante in $domF=[0,+oo)$,e tutte le tue risposte sarebbero state vere..
Risalendo nei tuoi quesiti volevo poi chiederti se conosci il II° teorema d'integrazione per sostituzione sugli integrali definiti
(la risposta dovrebbe esser si,
ma ho idea che devi ancora rafforzarti un pò in merito e buone speranze dovresti riuscirci a breve..),
oltre al concetto di funzione integrale:
in tal caso,aggiungendoli al classico teorema di Torricelli-Barow,
puoi risolvere molti dei tuoi dubbi considerando la restrizione a $[0,+oo)$ della funzione $z(t)=t^2:RR to [0,+oo)$..
Saluti dal web.
Se al posto di $sqrt(x)$ avessi avuto un numero(chiamiamolo $a$,percomodità),
la tua funzione integranda sarebbe stata continua in $[0,a]$
(perchè lo è addirittura in tutto $RR$..)
e dunque per una nota cond sufficiente sarebbe stata integrabile secondo Riemann(usi questa misura?):
la F sarebbe allora stata costante in $domF=[0,+oo)$,e tutte le tue risposte sarebbero state vere..
Risalendo nei tuoi quesiti volevo poi chiederti se conosci il II° teorema d'integrazione per sostituzione sugli integrali definiti
(la risposta dovrebbe esser si,
ma ho idea che devi ancora rafforzarti un pò in merito e buone speranze dovresti riuscirci a breve..),
oltre al concetto di funzione integrale:
in tal caso,aggiungendoli al classico teorema di Torricelli-Barow,
puoi risolvere molti dei tuoi dubbi considerando la restrizione a $[0,+oo)$ della funzione $z(t)=t^2:RR to [0,+oo)$..
Saluti dal web.
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