Dubbio sulla differenziabilità

[_Tipper]

Se una funzione di più variabili è differenziabile in un certi punto allora in quel punto è anche derivabile?
Se questa condizione non dovesse essere sufficiente mi potreste dire cosa devo controllare?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Si, la differenziabilita' implica la derivabilita' in tutte le direzioni.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[_Tipper]

Scusate l'insistenza, ma a giorni ho l'esame...
Se una funzione in un punto non è differenziabile, come faccio a stabilire se in quel punto è derivabile?

Grazie per la pazienza

[Sk_Anonymous]

Calcola le derivate direzionali e vedi se esistono o no.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[_Tipper]

Vediamo se ho capito...
Consideriamo una funzione definita a tratti così:
sen(10x^3)/(x^2+y^2) se (x,y)#(0,0)
0 se (x,y)=(0,0)
devo studiare continuità e derivabilità in (0,0)
per la continuità faccio lim (x,y)->(0,0) di sen(10x^3)/(x^2+y^2)
questo limite fa effettivamente 0, quindi la funzione nell'origine è continua
per quanto riguarda la derivabilità devo fare:
lim h->0 (f((0,0)+h(v1,v2)) - f(0,0))/h
lim h->0 1/h * sen(10h^3v1^3)/(h^2v1^2+h^2v2^2)

poi risolvo il limite, se esiste la funzione è derivabile nell'origine

va bene quanto ho detto?

[Sk_Anonymous]

Si'.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[_Tipper]

Sempre riguardo all'esempio che ho fatto, per dire che la funzione è continua e derivabile anche nei punti diversi dall'origine mi basta dire che sen(10x^3)/(x^2+y^2) è composizione di funzioni continue e derivanili?

[Sk_Anonymous]

Esatto.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[_Tipper]

Grazie per la pazienza Luca