Dubbio sulla derivata di una funzione particolare
Buonasera a tutti.
Mi rendo conto che il dubbio che vi sto per sottoporre è ridicolo, ma preferisco parlarne un secondo con voi e stare tranquillo piuttosto che tenermi lì il tarlo. Perdonatemi in anticipo perchè la questione vi sembrerà fin troppo banale.
Dunque: sia $I$ un intervallo aperto di $RR$ e $f:I->RR$ una funzione derivabile $n+1$ volte in $I$.
Fissiamo $x$ in $I$ e definiamo
$g(y)=f(x)-sum_(k=0)^n (f^(k)(y))/(k!)(x-y)^k$ dove $f^(k)(y)$ denota, al solito, la derivata $k$-esima di $f$ calcolata in $y$.
Primo dubbio scemo: voglio calcolare $g(x)$.
Ho ragionato così: il primo termine $f(x)$ non lo tocco tanto è una costante, mentre sulla somma devo andare cauto perchè per $k=0$ ho proprio $f(x)$; tutto il resto va via da sè perchè $(x-x)^k=0$ per ogni $k ne 0$. In definitiva, $g(x)=f(x)-f(x)=0$.
Ok fin qui?
Secondo dubbio scemo: voglio calcolare $g'(y)$.
Allora, il primo termine sparisce proprio perchè è costante; per la somma invece devo applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni: il primo termine sarà $sum_(k=0)^n (f^(k+1)(y))/(k!)(x-y)^k$ (ho derivato il primo fattore e non ho toccato il secondo) mentre il secondo termine diventa $-sum_(k=1)^n (f^(k)(y))/(k!)k(x-y)^(k-1)=-sum_(k=1)^n (f^(k)(y))/((k-1)!)(x-y)^(k-1)$ dove il $-$ davanti a tutto si giustifica dicendo che ho derivato la funzione composta $(x-y)^k$ (che ha derivata prima, rispetto a $y$, uguale a $-k(x-y)^(k-1)$).
In definitiva, $g'(y)=-( sum_(k=0)^n (f^(k+1)(y))/(k!)(x-y)^k-sum_(k=1)^n (f^(k)(y))/((k-1)!)(x-y)^(k-1))$.
Fin qui ci siamo ancora? Su quello che segue non ho più molti dubbi: cambio l'indice nel secondo addendo. Pongo $h=k-1$ e ho
$g'(y)=-(sum_(k=0)^n (f^(k+1)(y))/(k!)(x-y)^k-sum_(h=0)^(n-1) (f^(h+1)(y))/(h!)(x-y)^h)$: quindi, i due termini sono uguali e si semplificano tutti da $0$ a $n-1$. In definitiva, resta solo il termine con l'$n$:
$g'(y)=-f^((n+1)(y))/(n!)(x-y)^n$.
E' corretto tutto quanto? Ripeto, mi scuso per la banalità della questione, alla fine sono solo conti, però m piacerebbe avere una sicurezza in più.
Ovviamente, 100 punti a chi azzecca da quale dimostrazione è estratta la questione
.
Vi ringrazio ancora una volta.
Mi rendo conto che il dubbio che vi sto per sottoporre è ridicolo, ma preferisco parlarne un secondo con voi e stare tranquillo piuttosto che tenermi lì il tarlo. Perdonatemi in anticipo perchè la questione vi sembrerà fin troppo banale.
Dunque: sia $I$ un intervallo aperto di $RR$ e $f:I->RR$ una funzione derivabile $n+1$ volte in $I$.
Fissiamo $x$ in $I$ e definiamo
$g(y)=f(x)-sum_(k=0)^n (f^(k)(y))/(k!)(x-y)^k$ dove $f^(k)(y)$ denota, al solito, la derivata $k$-esima di $f$ calcolata in $y$.
Primo dubbio scemo: voglio calcolare $g(x)$.
Ho ragionato così: il primo termine $f(x)$ non lo tocco tanto è una costante, mentre sulla somma devo andare cauto perchè per $k=0$ ho proprio $f(x)$; tutto il resto va via da sè perchè $(x-x)^k=0$ per ogni $k ne 0$. In definitiva, $g(x)=f(x)-f(x)=0$.
Ok fin qui?
Secondo dubbio scemo: voglio calcolare $g'(y)$.
Allora, il primo termine sparisce proprio perchè è costante; per la somma invece devo applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni: il primo termine sarà $sum_(k=0)^n (f^(k+1)(y))/(k!)(x-y)^k$ (ho derivato il primo fattore e non ho toccato il secondo) mentre il secondo termine diventa $-sum_(k=1)^n (f^(k)(y))/(k!)k(x-y)^(k-1)=-sum_(k=1)^n (f^(k)(y))/((k-1)!)(x-y)^(k-1)$ dove il $-$ davanti a tutto si giustifica dicendo che ho derivato la funzione composta $(x-y)^k$ (che ha derivata prima, rispetto a $y$, uguale a $-k(x-y)^(k-1)$).
In definitiva, $g'(y)=-( sum_(k=0)^n (f^(k+1)(y))/(k!)(x-y)^k-sum_(k=1)^n (f^(k)(y))/((k-1)!)(x-y)^(k-1))$.
Fin qui ci siamo ancora? Su quello che segue non ho più molti dubbi: cambio l'indice nel secondo addendo. Pongo $h=k-1$ e ho
$g'(y)=-(sum_(k=0)^n (f^(k+1)(y))/(k!)(x-y)^k-sum_(h=0)^(n-1) (f^(h+1)(y))/(h!)(x-y)^h)$: quindi, i due termini sono uguali e si semplificano tutti da $0$ a $n-1$. In definitiva, resta solo il termine con l'$n$:
$g'(y)=-f^((n+1)(y))/(n!)(x-y)^n$.
E' corretto tutto quanto? Ripeto, mi scuso per la banalità della questione, alla fine sono solo conti, però m piacerebbe avere una sicurezza in più.
Ovviamente, 100 punti a chi azzecca da quale dimostrazione è estratta la questione
. Vi ringrazio ancora una volta.
Risposte
A me sembra corretto.
Formula di Taylor con resto di Lagrange?
Formula di Taylor con resto di Lagrange?
"gac":
A me sembra corretto.
Formula di Taylor con resto di Lagrange?
Grazie mille.
Ti sei appena aggiudicato 100 punti
Grazie ancora per il consulto.
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