Dubbio sulla completezza
Salve, finalmente sono iniziati i corsi all'università e una cosa che ho molto apprezzato è il fatto che studiare con un docente e non studiare da soli ti permette di capire molto meglio l'importanza di alcuni risultati. Tuttavia, dopo la seconda lezione di Analisi 1 mi è venuto un dubbio, che per alcune ragioni che penso si capiranno dalla domanda, non ho potuto esporre durante la lezione. Sostanzialmente mi chiedevo se preso un insieme completo, allora tolto un punto tale insieme fosse ancora completo.
Prima di continuare vi riporto la definzione di completezza che mi è stata data:" un insieme $X$ si dirà completo se presa una qualunque coppia di suoi sottoinsiemi $A$ e $B$ non vuoti, tali che $ AA a \in A, AA b \in b, a<=b $ esiste un elemento $c$ tale che $ AA a \in A, AA b \in b, a<=c<=b $ "
Per farmi un idea ho provato a prendere $RR^2-{(0,0)}$ con l'ordinamento indotto dalla norma euclidea (ovvero $x<=y iff |x|<=|y|$). Ora, è facile vedere che questo spazio rispetta la definizione di completezza e quindi in teoria dovrebbe essere completo.
Tuttavia, da quel che so uno spazio metrico (e quindi anche uno spazio normato) si dirà completo se tutto le successioni di Cauchy convergono a un punto dello spazio stesso. Ora, la successione $(1/n,1/n)$ è banalmente di Cauchy e converge a $(0,0)$ che tuttavia non è nell'insieme considerato e dunque lo spazio non è completo.
Ora, la mia domanda è: sono io che ho frainteso i concetto di completezza, o le due definizioni non sono equivalenti non appena non siamo più in $RR$?
Se non vi reca disturbo potreste aiutarmi con questo dubbio e magari anche con quello di partenza?
Prima di continuare vi riporto la definzione di completezza che mi è stata data:" un insieme $X$ si dirà completo se presa una qualunque coppia di suoi sottoinsiemi $A$ e $B$ non vuoti, tali che $ AA a \in A, AA b \in b, a<=b $ esiste un elemento $c$ tale che $ AA a \in A, AA b \in b, a<=c<=b $ "
Per farmi un idea ho provato a prendere $RR^2-{(0,0)}$ con l'ordinamento indotto dalla norma euclidea (ovvero $x<=y iff |x|<=|y|$). Ora, è facile vedere che questo spazio rispetta la definizione di completezza e quindi in teoria dovrebbe essere completo.
Tuttavia, da quel che so uno spazio metrico (e quindi anche uno spazio normato) si dirà completo se tutto le successioni di Cauchy convergono a un punto dello spazio stesso. Ora, la successione $(1/n,1/n)$ è banalmente di Cauchy e converge a $(0,0)$ che tuttavia non è nell'insieme considerato e dunque lo spazio non è completo.
Ora, la mia domanda è: sono io che ho frainteso i concetto di completezza, o le due definizioni non sono equivalenti non appena non siamo più in $RR$?
Se non vi reca disturbo potreste aiutarmi con questo dubbio e magari anche con quello di partenza?
Risposte
Prendi $RR$ e togli $0$. La successione $1/n$ è di Cauchy ma non è convergente.
In generale, direi:
- non c'è (ovviamente) nessun teorema di carattere generale che ti garantisca il mantenimento della proprietà di completezza se cavi via un punto
- prendi uno spazio completo, prendi un elemento. Supponi che ci sia una successione che non sia definitivamente costante e che sia convergente proprio a quell'elemento (esercizio: quando succede che non ce ne siano?). Togli il punto. La successione che convergeva a quel punto non sa più dove convergere
In generale, direi:
- non c'è (ovviamente) nessun teorema di carattere generale che ti garantisca il mantenimento della proprietà di completezza se cavi via un punto
- prendi uno spazio completo, prendi un elemento. Supponi che ci sia una successione che non sia definitivamente costante e che sia convergente proprio a quell'elemento (esercizio: quando succede che non ce ne siano?). Togli il punto. La successione che convergeva a quel punto non sa più dove convergere
[]
Scusa mkplo, c'è qualcosa che non mi è chiaro in quello che scrivi.
La prima definizione che dai di completezza riguarda gli insiemi ordinati. Quindi è applicabile a $ mathbb(R) $ .
La definizione di completezza tramite le successioni di Cauchy è propria degli spazi metrici, richiede la definizione di una distanza, che è possibile introdurre in $ mathbb(R) $.
La prima definizione non è dunque applicabile a insiemi non ordinati.
In $ mathbb(R^2) $ non c'è ordinamento, so che si può dimostrare che non è possibile introdurre un ordinamento tra le coppie di numeri reali[nota]E' possibile però introdurre delle relazioni d'ordine parziale.[/nota].
Quindi in $ mathbb(R^2) $ non è possibile usare la prima definizione di completezza, ma solo la nozione di completezza tramite le successioni di Cauchy.
Quell'ordinamento che citi tu, "ordinamento indotto dalla norma euclidea" non è un ordinamento delle coppie di numeri reali, ma delle loro norme (cioè sempre in $ mathbb(R) $). Controlla, ma a me pare che visto sulle coppie di numeri reali non è antisimmetrico.
La prima definizione che dai di completezza riguarda gli insiemi ordinati. Quindi è applicabile a $ mathbb(R) $ .
La definizione di completezza tramite le successioni di Cauchy è propria degli spazi metrici, richiede la definizione di una distanza, che è possibile introdurre in $ mathbb(R) $.
La prima definizione non è dunque applicabile a insiemi non ordinati.
In $ mathbb(R^2) $ non c'è ordinamento, so che si può dimostrare che non è possibile introdurre un ordinamento tra le coppie di numeri reali[nota]E' possibile però introdurre delle relazioni d'ordine parziale.[/nota].
Quindi in $ mathbb(R^2) $ non è possibile usare la prima definizione di completezza, ma solo la nozione di completezza tramite le successioni di Cauchy.
Quell'ordinamento che citi tu, "ordinamento indotto dalla norma euclidea" non è un ordinamento delle coppie di numeri reali, ma delle loro norme (cioè sempre in $ mathbb(R) $). Controlla, ma a me pare che visto sulle coppie di numeri reali non è antisimmetrico.
@Fioravante Patrone: grazie per la risposta. Per quanto riguarda la domanda che hai posto ci devo pensare un po', così su due piedi mi verrebbe da dire una successione monotona limitata (perché se non fosse limitata (ovviamente se la successione è di Cauchy è limitata) non è detto che converga nell'insieme e se non fosse monotona, o potrebbe non convergere a un valore o potrebbe essere definitivamente costante).
@gabriella127:grazie anche a te per la risposta. Effettivamente l'antisimmetria cade, a meno di definire una relazione di equivalenza e poi quozientare, in tal caso si creerebbe qualcosa di "simile a" $RR^+$ ora mi chiedo se in tal caso fosse applicabile la prima definizione, perché se così fosse avrei ancora il problema di una successione di Cauchy non convergente e di un insieme ordinato che rispetta la prima definizione (scusa se insisto con la domanda, però vorrei capire bene il concetto).
@gabriella127:grazie anche a te per la risposta. Effettivamente l'antisimmetria cade, a meno di definire una relazione di equivalenza e poi quozientare, in tal caso si creerebbe qualcosa di "simile a" $RR^+$ ora mi chiedo se in tal caso fosse applicabile la prima definizione, perché se così fosse avrei ancora il problema di una successione di Cauchy non convergente e di un insieme ordinato che rispetta la prima definizione (scusa se insisto con la domanda, però vorrei capire bene il concetto).
Buongiorno, gabriella127. Riguardo agli ordinamenti, una precisazione.
Su $RR^2$ è possibile introdurre un ordinamento, anche totale, volendo. Dopotutto nella teoria degli insiemi naïf (quella che ho sempre usato), c'è il teorema del buon ordinamento: ogni insieme può essere non solo totalmente ordinato, ma puranco "bene ordinato".
Il punto rilevante (e che amo, da vecchio strutturalista in matematica e non solo) è che non si può introdurre un ordinamento totale che sia compatibile con la struttura algebrica standard di $RR^2$. E' lo stesso discorso che vale per il fatto che su $CC$ non ci sia un ordinamento totale "sensato".
Quanto alla completezza, sempre per via del fatto di essere strutturalista e vecchio, non avevo colto il possibile richiamo alla completezza a partire da una relazione d'ordine. Semplicemente, la completezza che interessa è quella di cui si parla negli spazi metrici. Altri aspetti di completezza legati a una relazione d'ordine su un insieme non interessano a nessuno (a parte il caso molto particolare di $RR$, e a parte alcuni matematici specialisti e di nicchia). Così come non interessa a nessuno (vale il secondo caveat) il fatto che la nozione di completezza viva in modo più "naturale" sugli spazi uniformi che non sulla sottoclasse degli spazi metrici
Su $RR^2$ è possibile introdurre un ordinamento, anche totale, volendo. Dopotutto nella teoria degli insiemi naïf (quella che ho sempre usato), c'è il teorema del buon ordinamento: ogni insieme può essere non solo totalmente ordinato, ma puranco "bene ordinato".
Il punto rilevante (e che amo, da vecchio strutturalista in matematica e non solo) è che non si può introdurre un ordinamento totale che sia compatibile con la struttura algebrica standard di $RR^2$. E' lo stesso discorso che vale per il fatto che su $CC$ non ci sia un ordinamento totale "sensato".
Quanto alla completezza, sempre per via del fatto di essere strutturalista e vecchio, non avevo colto il possibile richiamo alla completezza a partire da una relazione d'ordine. Semplicemente, la completezza che interessa è quella di cui si parla negli spazi metrici. Altri aspetti di completezza legati a una relazione d'ordine su un insieme non interessano a nessuno (a parte il caso molto particolare di $RR$, e a parte alcuni matematici specialisti e di nicchia). Così come non interessa a nessuno (vale il secondo caveat) il fatto che la nozione di completezza viva in modo più "naturale" sugli spazi uniformi che non sulla sottoclasse degli spazi metrici
"Fioravante Patrone":
Il punto rilevante (e che amo, da vecchio strutturalista in matematica e non solo) è che non si può introdurre un ordinamento totale che sia compatibile con la struttura algebrica standard di $RR^2$. E' lo stesso discorso che vale per il fatto che su $CC$ non ci sia un ordinamento totale "sensato".
Per essere ancora più precisi (visto che apparentemente questo false belief è diffuso anche tra chi la matematica la insegna), in un campo ordinato i quadrati ossia gli elementi $y$ tali che esiste $x$ per cui $x^2=y$, sono positivi. Ma \(-1\) (e in effetti ogni numero complesso) è un quadrato in \(\mathbb{C}\), quindi non può esistere nessun omomorfismo di anelli \(\mathbb{R}\to \mathbb{C}\) che estenda a \(\mathbb C\) l'ordine di \(\mathbb R\).
@ FioravantePatrone, solaàl grazie della precisazione.
Sì, certo, $mathbb(R^2)$ e $mathbb(C)$ con la struttura algebrica.
Sì, certo, $mathbb(R^2)$ e $mathbb(C)$ con la struttura algebrica.
È già stato detto che la completezza rispetto all'ordine e quella rispetto alla metrica sono concetti differenti?
Grazie a tutti per le risposte. Provo a fare un riassunto per capire se ho capito:
(1)Completezza rispetto all'ordine e completezza rispetto alla metrica sono concetti diversi, quindi non è detto che valgono entrambi.
(2)Tutti gli insiemi sono totalemente ordinabili per il teorema del buon ordinamento, ma non tutti i campi sono totalmente ordinabili se voglio che la relazione sia compatibile con le operazioni. In più si dimostra che l'insieme dei numeri reali, a meno di isomorfismi è l'unico campo totalmente ordinato completo.
(3)La relazione d'ordine che avevo trovato valeva per le norme e non per le coppie, dato che non è asimmetrica a meno che non quoziento l'insieme
(4)Preso uno spazio metrico completo e tolto un punto è possibile costruire una successione di Cauchy non convergente
(5)I numeri complessi non sono un campo totalmente ordinato completo perché non è possibile costruire un isomorfismo con i numeri reali, dato che $-1$ è un quadrato in $CC$ ma non in $RR$.
Ho detto qualche inesattezza o qualcosa di totalmente sbagliato? Oppure ho capito bene?
(1)Completezza rispetto all'ordine e completezza rispetto alla metrica sono concetti diversi, quindi non è detto che valgono entrambi.
(2)Tutti gli insiemi sono totalemente ordinabili per il teorema del buon ordinamento, ma non tutti i campi sono totalmente ordinabili se voglio che la relazione sia compatibile con le operazioni. In più si dimostra che l'insieme dei numeri reali, a meno di isomorfismi è l'unico campo totalmente ordinato completo.
(3)La relazione d'ordine che avevo trovato valeva per le norme e non per le coppie, dato che non è asimmetrica a meno che non quoziento l'insieme
(4)Preso uno spazio metrico completo e tolto un punto è possibile costruire una successione di Cauchy non convergente
(5)I numeri complessi non sono un campo totalmente ordinato completo perché non è possibile costruire un isomorfismo con i numeri reali, dato che $-1$ è un quadrato in $CC$ ma non in $RR$.
Ho detto qualche inesattezza o qualcosa di totalmente sbagliato? Oppure ho capito bene?
La 4) è (in generale) sbagliata.
Prova a dimostrare che un sottoinsieme di $RR$ è completo nel tuo senso se è un chiuso al quale è stato tolto al più il massimo e/o il minimo (se ci sono).
O non ho capito bene cosa vuoi dire con questa frase o l'immersione è un controesempio.
Io avrei detto più semplicemente che $-1$ deve essere negativo in un campo ordinato.
Prova a dimostrare che un sottoinsieme di $RR$ è completo nel tuo senso se è un chiuso al quale è stato tolto al più il massimo e/o il minimo (se ci sono).
"solaàl":
Ma \(-1\) (e in effetti ogni numero complesso) è un quadrato in \(\mathbb{C}\), quindi non può esistere nessun omomorfismo di anelli \(\mathbb{R}\to \mathbb{C}\) che estenda a \(\mathbb C\) l'ordine di \(\mathbb R\).
O non ho capito bene cosa vuoi dire con questa frase o l'immersione è un controesempio.
Io avrei detto più semplicemente che $-1$ deve essere negativo in un campo ordinato.
@otta96:grazie della risposta, tuttavia non capisco bene la richiesta, ovvero, se prendo un chiuso di $RR$ e tolgo o il massimo e/o il minimo, di sicuro rimane completo nel senso della definizione chi mi è stata data (e questo provo a dimostrarlo in modo formale dopo anche per fare esercizio), tuttavia è possibile creare una successione di Cauchy che converga al massimo e/o al minimo, che tuttavia non appartenendo all'insieme fanno sì che lo spazio non sia completo, quindi non capisco il perché l'affermazione 4 sia sbagliata.
"otta96":
O non ho capito bene cosa vuoi dire con questa frase o l'immersione è un controesempio.
Io avrei detto più semplicemente che $-1$ deve essere negativo in un campo ordinato.
\(-1<_{\mathbb{R}}0\), and yet \(0 <_{\mathbb{C}} -1\) (supponendo che quell'ordine esista, e che renda \(\mathbb C\) un campo ordinato).
"mklplo":
(4)Preso uno spazio metrico completo e tolto un punto è possibile costruire una successione di Cauchy non convergente
Anche a me sembra che il punto 4) sia falso: non è vero in generale che togliendo un punto a uno spazio metrico completo diventi incompleto. (Parlo di completezza à la Cauchy, a scanso di equivoci).
Ti faccio il controesempio che mi viene in mente. L'insieme dei numeri interi è completo, nella metrica usuale, , perché qui una successione di Cauchy è solo una successione definitivamente costante, tipo ${qualcheroba.., k,k, k, ....} $, che converge ovviamente a $k$. Toglici un punto, non cambia niente, resta completo.
Non vorrei dire fesserie, ma questo mi sembra che avvenga in genere in $mathbb(R)$ quando c'è un punto isolato: che so, prendi l'intervallo $[0,1]\cup 3$, è un sottoinsieme chiuso di $mathbb(R)$, quindi è completo.
Toglici $3$, resta $[0,1]$ che è completo.
Questo perché a un punto isolato non ci converge niente, tranne la successione definitivamente costante uguale a quel punto da un certo $n$ in poi.
Una cosa del genere mi sembra, a prima impressione, che dovrebbe avvenire anche negli spazi con la metrica discreta (sono completi), anche qui le successioni di Cauchy sono solo quelle definitivamente costanti.
Questo dovrebbe rispondere anche all'esercizio proposto da Fioravante Patrone nel suo primo post, se ho capito bene cosa intendeva.
@gabriella127: grazie della risposta, veramente belli i controesempi, non avevo proprio preso in considerazione l'ipotesi di prendere punti isolati, prendevo tutti insiemi con soli punti di accumulazione.
Grazie a te, mklplo. Spero che siano giusti.
Infatti avevo pensato quello che dici, che non ti venivano in mente perché ti legavi all'idea di uno spazio 'tutto di un pezzo'. E' una cosa che capita, di confondersi per idee preconcette.
Comunque devo farti i miei complimenti, le discussioni che introduci sono sempre stimolanti, ricordo anche in Storia della matematica.
Infatti avevo pensato quello che dici, che non ti venivano in mente perché ti legavi all'idea di uno spazio 'tutto di un pezzo'. E' una cosa che capita, di confondersi per idee preconcette.
Comunque devo farti i miei complimenti, le discussioni che introduci sono sempre stimolanti, ricordo anche in Storia della matematica.
Grazie gabriella127.
Comunque dato che avevo trovato grazie anche al suggerimento di otta96 un caso in cui valesse la completezza della relazione d'ordine ma non quella per successioni, volevo trovare il caso inverso,ovvero in cui si avesse la completezza per successioni ma non quella per l'ordine. Pensavo che un esempio di ciò potesse essere l'insieme di tutti gli ordinali (compresi quelli transfiniti), infatti non è difficile dimostrare che non vale l'assioma di completezza per l'ordine, tuttavia non ho ben chiaro come si dovrebbe costruire una successione di Cauchy in qualcosa di così insolito, tuttavia dato che è composto da punti isolati (giusto?) dovrebbe essere completo per successioni.
Secondo voi questo esempio è giusto?
Comunque dato che avevo trovato grazie anche al suggerimento di otta96 un caso in cui valesse la completezza della relazione d'ordine ma non quella per successioni, volevo trovare il caso inverso,ovvero in cui si avesse la completezza per successioni ma non quella per l'ordine. Pensavo che un esempio di ciò potesse essere l'insieme di tutti gli ordinali (compresi quelli transfiniti), infatti non è difficile dimostrare che non vale l'assioma di completezza per l'ordine, tuttavia non ho ben chiaro come si dovrebbe costruire una successione di Cauchy in qualcosa di così insolito, tuttavia dato che è composto da punti isolati (giusto?) dovrebbe essere completo per successioni.
Secondo voi questo esempio è giusto?
Per costruire una successione di Cauchy devi avere una metrica, negli ordinali non c'è l'hai.
@otta96: non si può proprio definire nessuna metrica? Non va bene quella standard dei numeri reali?
l'insieme di tutti gli ordinali
Non è un insieme
@solaàl: neanche se si prendono allora sono tutti gli ordinali minori di $omega_1$, oppure i numeri iperreali?
p.s: non è un insieme perché implicherebbe l'esistenza di un insieme di tutti gli insiemi?
p.s: non è un insieme perché implicherebbe l'esistenza di un insieme di tutti gli insiemi?
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