Dubbio sulla completezza

[mklplo751]

Salve, finalmente sono iniziati i corsi all'università e una cosa che ho molto apprezzato è il fatto che studiare con un docente e non studiare da soli ti permette di capire molto meglio l'importanza di alcuni risultati. Tuttavia, dopo la seconda lezione di Analisi 1 mi è venuto un dubbio, che per alcune ragioni che penso si capiranno dalla domanda, non ho potuto esporre durante la lezione. Sostanzialmente mi chiedevo se preso un insieme completo, allora tolto un punto tale insieme fosse ancora completo.
Prima di continuare vi riporto la definzione di completezza che mi è stata data:" un insieme $X$ si dirà completo se presa una qualunque coppia di suoi sottoinsiemi $A$ e $B$ non vuoti, tali che $ AA a \in A, AA b \in b, a<=b $ esiste un elemento $c$ tale che $ AA a \in A, AA b \in b, a<=c<=b $ "
Per farmi un idea ho provato a prendere $RR^2-{(0,0)}$ con l'ordinamento indotto dalla norma euclidea (ovvero $x<=y iff |x|<=|y|$). Ora, è facile vedere che questo spazio rispetta la definizione di completezza e quindi in teoria dovrebbe essere completo.
Tuttavia, da quel che so uno spazio metrico (e quindi anche uno spazio normato) si dirà completo se tutto le successioni di Cauchy convergono a un punto dello spazio stesso. Ora, la successione $(1/n,1/n)$ è banalmente di Cauchy e converge a $(0,0)$ che tuttavia non è nell'insieme considerato e dunque lo spazio non è completo.
Ora, la mia domanda è: sono io che ho frainteso i concetto di completezza, o le due definizioni non sono equivalenti non appena non siamo più in $RR$?
Se non vi reca disturbo potreste aiutarmi con questo dubbio e magari anche con quello di partenza?

[solaàl]

Tutti gli ordinali minori di uno dato sono un insieme: gli ordinali minori d \(\kappa\) sono esattamente l'ordinale \(\kappa\).

non è un insieme perché implicherebbe l'esistenza di un insieme di tutti gli insiemi?

Se la classe \(\sf On\) degli ordinali fosse un insieme avrebbe una cardinalità, cioè esisterebbe un ordinale minimale \(\kappa\) in biiezione con \(\sf On\); del resto è vietato che \({\sf On}\) sia in biiezione con un suo elemento...

[mklplo751]

Grazie per aver risposto. Dunque se prendo $ω_1$ con la metrica standard, questo può essere visto come uno spazio completo secondo Cauchy, ma non completo secondo la definizione di completezza di un insieme ordinato?

[otta96]

Ma quale sarebbe questa metrica di cui parli?

[mklplo751]

@otta96:$d(x,y)=|x-y|$

[solaàl]

Forse ha capito male e crede che \(\omega_1\) sia un modo di intendere \(2^{\aleph_0}\) ossia \(\mathbb R\)...

[mklplo751]

ok, provo a spiegarmi meglio io stavo considerando l'insieme $ {0,1,2,....,omega _0,omega _0+1,...} $ con la distanza $d(x,y)=|x-y|$ e l'ordinamento "classico" (che poi l'aleph non è un cardinale, mentre omega un ordinale?).

[solaàl]

ma cosa significa "il valore assoluto della differenza" per elementi di un ordinale? quanto fa la differenza \(1-(\omega+7)\); o ancora peggio, dato che \(1+\omega=\omega\)... quanto fa \((1+\omega)-\omega\)?

[mklplo751]

Dalla tua risposta deduco che l'artimetica degli ordinali è troppo diversa da quella dei naturali, quindi, se non ti dispiace, mi sapresti suggerire un altro esempio che non presenti tutti questi problemi?
In pratica, dato che la prof ci ha sottolineato il legame tra proprietà di Archimede e Assioma di Completezza, volevo prendere uno spazio metrico completo, in cui non vale la proprietà di Archimede.
(Ho l'impressione che sto rischiando di andare in campi in cui potrei perdermi)

[mklplo751]

Forse l'unico modo per uscirsene è o definire nuove operazioni e un nuova distanza e magari "aggiustare un po'" l'insieme, oppure cambiare totalmente esempio.
Una cosa che mi veniva in mente ( e non ho idea se abbia un minimo di senso) è prendere questo insieme (che non so bene come scrivere formalmente, quindi spero si capisca lo stesso):
$ C=uu_{n in ZZ}n omega_0+ZZ $, poi definisco il seguente ordine: $ n omega_0+a>m\omega_0+b (n!= m) iff n>m $ e $ n omega_0+a>n\omega_0+b iff a>b $ , inoltre prendiamo la relazione di equivalenza $ n omega_0+a~ m omega_0+ b iff EE k\in ZZ:n omega_0+a=k+m\omega_0+b $ , inoltre definiamo la somma come $ (n omega_0+a)+ (m omega_0+ b)= (n+m)\omega_0+(a+b) $ (in teoria questa operazione per via della relazione di equivalenza non dovrebbe essere associativa, ma non penso che per lo scopo che ho in mente sia necessaria, ma forse mi sbaglio), infine definiamo la distanza $ d(x,y)=max{x,y}-min{x,y} $; ora, quozientando $C$ dovremmo aver finito (forse). Fatto ciò penso che questo spazio abbia le caratteristiche che cercavo, ovvero non rispetta la completezza dell'ordine, però è completo secondo Cauchy. Giusto?

[solaàl]

Cos'è \(\omega_0\)?

[mklplo751]

Un numero che è maggiore di ogni numero naturale, in pratica ho provato a prendere il concetto di ordinale e cambiare tutte le operazioni in modo da raggiungere lo scopo che mi ero prefissato, solo che non so se vada o meno bene, diciamo che sto cercando di introdurre uno spazio metrico completo, in cui è definito un ordine, e in cui non vale la proprietà di Archimede.

[mklplo751]

Spero di essermi almeno avvicinato all'intento e di non aver sbagliato tutto. Tenete presente che tutto ciò mi serve solo per capire meglio il concetto di completezza, non voglio incominciare a studiare cose che non ho nè le competenze nè le conoscenza per capire.

[solaàl]

"mklplo":Un numero che è maggiore di ogni numero naturale, in pratica ho provato a prendere il concetto di ordinale e cambiare tutte le operazioni in modo da raggiungere lo scopo che mi ero prefissato, solo che non so se vada o meno bene, diciamo che sto cercando di introdurre uno spazio metrico completo, in cui è definito un ordine, e in cui non vale la proprietà di Archimede.

Ci sono esempi di questo tipo;
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Archi ... ered_field
ma credo che per il momento sia meglio studiare cose più elementari, come dici sotto.

[mklplo751]

@solaàl:grazie delle risposte. Se ho capito bene: esistono esempi, quindi il provare non è sbagliato (ovvero esistono esempi di spazi metrici ordinati e non archimedei che dunque non sono completi rispetto all'ordine), tuttavia non sono alla mia portata e dalla tua risposta deduco che nel post precedente ho scritto qualcosa di totalmente errato (se non ti dispiace e se non è troppo complicato, potresti dirmi cosa non funziona?).Giusto?

[mklplo751]

Buongiorno e buon 1 novembre a tutti.
Ieri, in tema con la giornata, sono andato a rileggere alcuni miei post precedenti e ho capito il perché non tutti rispondevano quando chiedevo "dov'è l'errore?", perché banalmente non si salvava niente. Oggi, ritornando su questo posto, mi sono reso conto di due cose: se io prendo un campo totalmente ordinato in cui non vale Archimede è abbastanza facile vedere che non vale l'assioma di completezza che ha enunciato la prof. Mentre per rendere tale campo, uno spazio metrico completo, dovrebbe bastare il semplice dotarlo di una metrica discreta; poi non so se preso un campo totalmente ordinato in cui non vale Archimede, si può trovare una topologia di ordine tale che lo spazio topologico che ne derivi sia metrizzabile e tale che lo spazio metrico derivato da questa metrica sia completo, ma su questo penso di tornarci quando avrò maggiori competenze (penso che sia argomento del secondo anno, giusto?). Poi la costruzione effettiva di un esempio, ho capito che è lontana dalle mie capacità, ma penso che questo basti per capire il concetto e la differenza tra i due concetti di completezza, uno dipendente dall'ordine e l'altro dalla metrica.

[solaàl]

non so se preso un campo totalmente ordinato in cui non vale Archimede, si può trovare una topologia di ordine tale che lo spazio topologico che ne derivi sia metrizzabile

Uno spazio metrico è T2; la topologia d'ordine no, perché se \(x

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[mklplo751]

@solaàl: Grazie per aver risposto, quindi era una cosa impossibile a-priori. Scusa l'insistenza delle domande e l'insensatezza di molte di loro. Buona giornata.