Dubbio sul metodo di variazione delle costanti e sul metodo di somiglianza per le equazioni differenziali lineari

[mffomega]

Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Analisi II e, in particolare, le equazioni differenziali ordinarie e lineari. Non capisco però se il metodo di variazione delle costanti (o di Lagrange) sia valido solamente per equazioni differenziali lineari a coefficienti variabili o valga anche nel caso di eq. differenziali a coefficienti costanti. A me verrebbe intuitivo pensare che il metodo si possa applicare anche al caso di coefficienti costanti, considerandoli come un caso particolare di coefficienti variabili (con le implicazioni che ciò ha), però risolvendo alcune eq. differenziali a coefficienti costanti ritrovo risultati differenti utilizzando prima il metodo per somiglianza e poi il metodo di variazioni delle costanti.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto e l'attenzione.

[pilloeffe]

Ciao mffomega,

Benvenuto sul forum!

"mffomega":[...] risolvendo alcune eq. differenziali a coefficienti costanti ritrovo risultati differenti utilizzando prima il metodo per somiglianza e poi il metodo di variazioni delle costanti.

Perché non posti un esempio di tali equazioni differenziali che così ci ragioniamo?

[Fioravante Patrone1]

"mffomega":
...
A me verrebbe intuitivo pensare che il metodo si possa applicare anche al caso di coefficienti costanti, considerandoli come un caso particolare di coefficienti variabili

e meno male, stavo per dissotterrare il mio sdrucito mantello di moderatore cattivissimo (anche se non sono più moderatore da un bel po', cattivissimo lo sono sempre)

"mffomega":
...
però risolvendo alcune eq. differenziali a coefficienti costanti ritrovo risultati differenti utilizzando prima il metodo per somiglianza e poi il metodo di variazioni delle costanti.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto e l'attenzione.

I casi sono due:
CASO 1. - hai sbagliato i conti con un metodo o con l'altro (o in entrambi). Rifai i conti con attenzione, maniacale se necessario
CASO 2.- i conti son giusti, eppure ti sembra che i risultati siano differenti, ma è pura apparenza. E' "ovvio" (sei d'accordo?) che lo "integrale generale" di una equazione differenziale è univocamente determinato dall'equazione. Quindi, se hai fatto i conti giusti, l'integrale generale che trovi con un metodo non può essere diverso da quello trovato con l'altro. Per convincertene, chiamiamo A l'insieme delle soluzioni che trovi con un metodo e B quello che trovi con l'altro. Prendi un elemento di A e osserva (dimostra) che sta anche in B(*). E viceversa(*). Ergo A=B, come doveva essere. Se non torna, come nel gioco dell'oca vai indietro al CASO 1

(*) hai dubbi? Male! Guarda bene.
Come allenamento, dimostra che (contrariamente a quello che potrebbe sembrare a prima vista):
$y(x)=2(\arctan(-e^x)+3\pi)$
è soluzione di
$y'(x) = \sin (y(x))$