Dubbio sul calcolo dei punti critici

[Appinmate]

Buongiorno ho difficoltà a trovare i punti critici e a capire cosa sono della seguente funzione : $f(x,y)=y^2-3x^2y+2x^4$ Ho trovato come punto critico $P=(0,0)$ ma quando devo vedere che criticità è non so bene come comportarmi. Non so se è un massimo, un minimo o una sella. Ho provato a vedere come si comporta lungo le direzioni degli assi e delle bisettrici, ma non penso sia sufficiente per concludere di che tipo di punto si tratti. Per fare queso ho calcolato la derivata. Ma per capire se è una sella non bisogna anche studiare proprio il segno della funzione? Grazie a chi mi deluciderà a rigardo.

[kmfrick]

Analizza $\Delta f$, ovvero l'incremento della funzione in un intorno di $P$. Sai che $f(P) = 0$, ora vai a calcolare $f(\epsilon_1, \epsilon_2) = \epsilon_2^2 -3 \epsilon_1^2\epsilon_2 + 2 \epsilon_1^4$. Si ha dunque $\Delta f = f(\epsilon_1, \epsilon_2)$. Per $\epsilon_1, epsilon_2 \rightarrow 0$ hai che $\Delta f \rightarrow \epsilon_2^2$, che è un valore sempre positivo. L'incremento della funzione può essere solo positivo, ovvero intorno a $P$ la funzione può solo aumentare, dunque $P$ è un punto di minimo.

Spero di essere stato chiaro, se hai altri dubbi chiedi pure

[manuela.ciolli]

Ciao kmfrick, ho capito il tuo ragionamento però non capisco perchè $lim_(x,y->0 )∆ f(x,y) $ è sempre positivo, a me sembra nullo

[kmfrick]

"manuelaci":Ciao kmfrick, ho capito il tuo ragionamento però non capisco perchè $lim_(x,y->0 )∆ f(x,y) $ è sempre positivo, a me sembra nullo

Certo, $lim_{\epsilon \rightarrow 0} \Delta f = lim_{\epsilon \rightarrow 0} f(\epsilon, \epsilon) - f(0, 0) = 0$, ma la cosa importante è che qualunque incremento, per quanto piccolo, sia positivo: se ti allontani da $P$, in qualunque direzione, per quanto tu ti possa allontanare poco, la funzione incrementa, quindi $P$ è un punto di minimo.

[Appinmate]

Grazie mille.. Non ho però ancora compreso perchè per x1,x2 che tendono a zero si abbia che l'incremento tende a x2^2 .. Grazie per gli aiuti.

[kmfrick]

"Appinmate":Grazie mille.. Non ho però ancora compreso perchè per x1,x2 che tendono a zero si abbia che l'incremento tende a x2^2 .. Grazie per gli aiuti.

Quando ti avvicini a 0, i gradi più bassi sono i più significativi. Un po' come quando ti avvicini all'infinito, ma al contrario. Vedila così: $\frac{1}{3} ^ 4$ è più o meno significativo di $\frac{1}{3} ^2$? E $\frac{1}{10000} ^4$ contro $\frac{1}{10000}^2$?

[Appinmate]

"kmfrick":[quote="Appinmate"]Grazie mille.. Non ho però ancora compreso perchè per x1,x2 che tendono a zero si abbia che l'incremento tende a x2^2 .. Grazie per gli aiuti.

Quando ti avvicini a 0, i gradi più bassi sono i più significativi. Un po' come quando ti avvicini all'infinito, ma al contrario. Vedila così: $\frac{1}{3} ^ 4$ è più o meno significativo di $\frac{1}{3} ^2$? E $\frac{1}{10000} ^4$ contro $\frac{1}{10000}^2$? [/quote]
Sì, che scemo che sono! Grazie mille per la risposta!